Seminario
De la lógica a la topología en psicoanálisis:
Un recorrido posible
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Organizado por : PsicoMundo

Dictado por :
Mónica Lidia Jacob

Clase 2

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Em portugués

NÚMEROS COMPLEJOS

¿Qué tal? ¿Cómo les fue con la primera clase? Algunos de ustedes, me lo hizo saber, y recibí algunas preguntas que ya contesté .

Vamos a ver ahora el último conjunto de números, que vamos a presentar en este seminario : el conjunto de los números complejos.

Los temas de esta clase son : definición y representación de complejos, las potencias de la unidad imaginaria i, las raíces de la unidad 1 y la serie considerada por Lacan en el Seminario de La Identificación ( seminario 9 ) .

Por una cuestión de método, vamos a trabajar así : primero voy a transcribir las 3 citas que elegí, en las que Lacan trabaja con números complejos ; luego haré el desarrollo matemático, para luego volver al texto . Por eso, la primera lectura les sugiero que la hagan de corrido, sin detenerse a entender demasiado .

En Subversión del sujeto dice :

"En cuanto a nosotros, partiremos de lo que articula la sigla S(Abarrado) : ser en primer lugar un significante. Nuestra definición de significante (no hay otra) es: un significante es lo que representa al sujeto para otro significante. Este significante será pues el significante por el cual todos los otros significantes representan al sujeto: es decir que a falta de ese significante, todos los otros no representarían nada. Puesto que nada es representado sino para .

Ahora bien puesto que la batería de los significantes, en cuanto es, está por eso mismo completa, ese significante no puede ser sino un trazo que se traza de su círculo sin poder contarse en él .Simbolizable por la inherencia de un (-1) al conjunto de los significantes .

Es como tal impronunciable, pero no su operación, pues ésta es lo que se produce cada vez que un nombre propio es pronunciado .Su enunciado se iguala a su significación:

S (significante )
----------------------- = s (el enunciado ), con S = (-1),
s (significado )

tenemos :

s =

Es lo que falta al sujeto para pensarse agotado en su cogito, a saber lo que es impensable.

Mas adelante dice :

"Es así como el órgano eréctil viene a simbolizar el sitio del goce, no en cuanto el mismo, ni siquiera en cuanto imagen, sino en cuanto parte faltante de la imagen deseada :por eso es igualable al de la significación mas arriba producida, del goce al que restituye por el coeficiente de su enunciado a la función de falta del significante ( -1 ) ".

Del seminario 9, clase 7, del 10-1-62 :

" …hace aparecer la raíz de -1 . Ustedes saben de todos modos bastante de aritmética elemental como para saber que no es ningún número real ; no hay ningún número negativo por ejemplo que tenga de algún modo, la función de ser la raíz de un número cualquiera cuyo factor sea raíz de menos 1 ; porque para ser la raíz cuadrada de un negativo, esto quiere decir que elevado al cuadrado éste, de un numero negativo, pero ningún número elevado al cuadrado puede ser negativo ; es por lo que raíz de -1 es un algoritmo, pero sirve, si ustedes definen como número complejo a todo número compuesto de un número real al cual se agrega un número imaginario . Es decir, un número que no puede de ninguna manera adicionarse a él al número real "

"Si definen a esto como número complejo, podrían hacer con ese número y con el mismo éxito, todas las operaciones que pueden hacer con números reales y cuando se hayan lanzado en esta vía, no sólo habrán tenido la satisfacción de percibir que eso marcha sino que les permitirá hacer descubrimientos ; percibir que los números así constituidos tiene un valor que les permite particularmente operar de manera puramente numérica con lo que se llaman vectores" .

uno .

" como magnitudes que estarán no solamente provistas de un valor diversamente representable por una longitud ".

" además gracias a los números complejos podrán implicar en vuestra connotación no solo la mencionada magnitud sino su dirección y sobre todo el ángulo que forma con tal otra magnitud de manera tal que raíz de -1 que no es un número real, demuestra tener desde el punto de vista operatorio una potencia singularmente mas impresionante que todo aquello de lo que ustedes han dispuesto hasta ahí limitándose a las serie de los números reales" .

También del seminario 9 :

(a)

"Encontrar una fórmula convergente en la fórmula precedente(a) nos interesaría tanto menos cuanto que el sujeto es una función que tiende a una perfecta estabilidad, pero lo interesante, y es allí que doy un salto, porque para mostrar lo esencial no veo otro modo que comenzar por proyectar la tarea y volver luego a lo esencial ; tomen i haciéndome confianza con el valor que tiene exactamente en la teoría de los números donde se lo denomina imaginario ; esto no es una homonimia que por sí sola me parezca aquí justificar esta extrapolación metódica, este pequeño momento de salto y de confianza que les pido hacer ; este valor imaginario es este ".

"Mientras tanto la utilidad de su introducción, a este nivel, se ilustra así : es que si buscan lo que introduce esta función (a) ven a parecer una función que no es una función convergente a un límite sino que es una función periódica" .

:" la serie se define así : i+1 primer término, segundo término y tercer término 1 .

Ustedes reencontrarán periódicamente, es decir, cada tres veces en la serie este mismo valor, esos mismos 3 valores que les voy a dar. El primero es i+ 1 es decir el punto de enigma en que nos encontramos al preguntarnos qué valor podríamos dar a i para connotar al sujeto en tanto antes de toda nominación .problema que nos interesa .El segundo valor que van a encontrar, a saber

es estrictamente igual a i+1 y esto es bastante interesante, pues la primera cosa que encontramos es esto que la relación esencial de ese algo que buscamos como siendo el sujeto antes que se nombre (que sería el i+1)con el uso que puede hacer de su nombre simplemente por ser el significante de lo que hay que significar, es decir, de la cuestión del significado justamente de esta adición de él mismo a su propio nombre, es inmediatamente dividirlo en dos, hacer que no quede sino una mitad de lo que había en presencia . Como pueden ver, mis palabras no están preparadas pero están sin embargo bien calculadas y estas cosas son de todas maneras el fruto de una elaboración que rehice por 36 puertas de entrada asegurándome por un cierto número de controles, teniendo en lo que sigue un cierto número de indicadores El tercer valor, es decir, cuando detiene allí el termino de la serie, será 1 simplemente, lo que puede tener para nosotros, bien mirado, el valor de una suerte de confirmación de cierre, quiero decir, que si es en el tercer término cosa curiosa tiempo hacia el cual, ninguna meditación filosófica nos ha llevado especialmente a detenernos, es decir en el tiempo del yo pienso, en tanto que es también objeto del pensamiento y que se toma como objeto es en ese momento que creemos llegar a alcanzar esa famosa unidad cuyo carácter satisfactorio para definir lo que sea, no es seguramente dudoso, pero del cual podemos preguntarnos si se trata de la misma unidad de la que se trataba al principio a saber en la identificación primordial y desencadenante . Al menos es necesario que deje por hoy abierta la cuestión ."

 

DEFINICIÓN Y REPRESENTACIÓN DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

En la recta, teníamos a los número reales, pero allí ya no se puede ubicar ningún número mas . De ahora en adelante, para representar nuevos conjuntos de números, hay que "salir" de la recta ; en particular para representar los complejos, necesitamos el plano, o sea, dos ejes cartesianos

La raíz cuadrada de un número ( x ) cualquiera, es otro número ( y ), cuyo cuadrado ( y2 )da por resultado x

¿Qué pasa si queremos realizar la raíz cuadrada de -1? ; según la definición de raíz cuadrada, tendría que ser algún número, cuyo cuadrado valga -1 : Aquí ya vemos que ese número no existe en el campo de los números reales, ya que el cuadrado de cualquier real es positivo . Tanto 1 como - 1 al elevarlos al cuadrado dan por resultado +1 .

( 1)2 = 1

(-1)2 = 1 .

O sea que en el campo real ( el campo de los números reales ) no hay modo de resolver la existencia de un número real, que elevado al cuadrado, nos de -1 . Los reales son aquellos que se pueden ubicar en la recta, con lo cual no puede ubicarse en la recta real .

Entonces, a esa se lo nombra i y se dice que es la unidad imaginaria ; queda entonces definido por su operatoria, aquella que dice que su cuadrado da -1 : es decir que i2 = 1.

= i

i2 = -1

Repito entonces que la unidad imaginaria es el número complejo i (vean que es directamente una letra ), que estamos definiendo como la raíz cuadrada de -1 con lo cual, su cuadrado vale -1.

Desde un punto de vista algebraico, se puede decir también que el número i es una de las dos soluciones de la ecuación :

x2 + 1 = 0

Ahora podemos retomar el fragmento de Subversión del sujeto :

es un significante, impronunciable, pero no su operación; esta operación se produce cada vez que un nombre propio es pronunciado y consiste en que su enunciado se iguala a su significación :

S (significante) = s (enunciado )
s (significado )

En esta fórmula, S es , que por ser impronunciable y por ser el que falta en la batería, se inscribe como un -1. Escribamos -1 en el lugar de S :

Por pasaje de términos, pasando s del denominador del miembro izquierdo, al miembro derecho (lo indico con esa flecha ), queda :

-1 = s. s

Pero s por s es la potencia 2 de s, es decir s al cuadrado:

-1 = s²

La operación inversa de la potencia es la raíz, con lo cual el cuadrado pasa como raíz cuadrada. Dicho de otro modo obtenemos que s es tal que su cuadrado es menos uno y esa es la definición de número i

es un significante (el significante de la falta en el Otro ) ; es como tal impronunciable, pero no su operación, pues se produce cada vez que un nombre propio es pronunciado : su enunciado iguala su significación . Como es el significante de la falta en el Otro, le ponemos -1 ; con el pasaje de términos llegamos a que s es i ."Es lo que falta al sujeto para pensarse agotado por su cogito, a saber lo que es impensable ."

La s está dos veces : esas dos s, son la misma y no son la misma (la diferencia es el lugar) . Ahora, en el momento en que hace el pasaje de términos, tienen el mismo estatuto, que a su vez, es un estatuto nuevo, resultado de la operación .

Sigue mas adelante : es así como el órgano eréctil viene a simbolizar el sitio del goce, no en cuanto el mismo (no en cuanto órgano) ni siquiera en cuanto imagen, sino en cuanto parte faltante de la imagen deseada ; esa función de la falta se inscribe como (-1 ) .

Sigamos .

¿Cómo representar a i ? En el plano, en un sistema de ejes cartesianos, a distancia 1 sobre el eje vertical .Es decir, que corresponde al par ordenado (0,1)

Si escribimos por ejemplo 1i, 2i, 3i i ( cualquier numero real por i ) obtenemos el conjunto de los números imaginarios que se representan en el eje vertical .Es decir, que los que se ubican en el eje vertical, son los números imaginarios .

Si ahora construimos algo de la forma a + b i donde a y b son reales, eso es un número complejo ( por ejemplo -3 +2i ).

Un número complejo consta de dos términos : un término a que es un número real, y otro término bi formado por la multiplicación entre otro número real b y la unidad imaginaria i .A un tal número se lo llama número complejo Y la representación en el plano de -3 + 2i dice que partiendo del origen, me desplazo 3 unidades hacia la izquierda y luego "subo" 2 en el eje imaginario . Se hace una equivalencia entre el punto que corresponde al par ordenado (-3,2) el vector que sale del origen . y llega a ese punto .

Representar ½ + 2i corresponde a desplazarnos ½ hacia la derecha y 2 hacia arriba .

Un complejo puede estar en cualquier lugar del plano, inclusive sobre uno cualquiera de los ejes .

a + b i = ( a,b )

Todo número real es complejo (no todo complejo es real) .¿Por qué? porque un número real se puede escribir así :

a = a + 0 i = (a,0) (se representa sobre el eje horizontal )

Los números imaginarios también son números complejos ; son aquellos de la forma :

b i = 0 + b i =(0, b) ( se representan sobre el eje vertical )

Los números reales que estuvimos estudiando la clase anterior, quedan en el plano, en el eje horizontal ; en el eje vertical se representan ahora los imaginarios .Y los complejos son los que ocupan todo el plano, incluyendo los dos ejes . Tanto los reales como los imaginarios son complejos ; todo real es complejo, no todo complejo es real .Es decir que el conjunto de los reales está incluido en el conjunto de complejos .

Volvamos ahora al seminario 9 ;En la página 11 de la versión inédita que tengo, dice :

"Ustedes saben de todos modos de aritmética elemental como para saber que no es un número real; no hay ningún número negativo, por ejemplo, que pueda de algún modo cumplir la función, de ser la raíz de un número cualquiera cuyo factor sea porque para hacer la raíz cuadrada de un negativo " llamémosla x, " esto quiere decir que elevado al cuadrado da un negativo "

O sea que si raíz cuadrada de un negativo es x , debería ocurrir que x elevado al cuadrado fuera ese negativo . Es decir que si tomara un valor real x, debería cumplir que x2 = -1 .Pero en el campo real, ningún número, es decir ningún número real, al elevarlo al cuadrado da un número negativo, pues el cuadrado es siempre positivo en el campo real .

"Es por lo que (sería un caso particular de esto) no es sino un algoritmo, pero sirve ".

O sea que a los números que no son reales les da otro estatuto : algoritmo en el sentido que dije antes : que tiene estatuto de letra, pero es posible operar con eso .Se acuerdan que decía que hay un significante, que no es posible pronunciar, pero sí hacer la operación . Por eso a esta la llamamos i.

Cuando dice algoritmo, remite al algoritmo saussureano S / s, que tal como ubica en Instancia en la letra es la razón desde Freud [en matemática, la división entre a y b ( a / b ) se llama razón ]

El enunciado, se iguala a la significación, al algoritmo saussureano ( la razón después de Freud) ; esto proviene de la ley de la palabra, del hecho de decir ; una vez que algo fue enunciado, ya no hay modo de desdecirse ; lo que fue dicho, dicho está; no hay modo de borrar lo que fue dicho aun contradiciéndolo . Y es por este hecho que la razón freudiana es igual al enunciado haciendo surgir el número i como soporte del sujeto, de este sujeto asujetado en el campo del leguaje por la función de la palabra .

"Si ustedes definen como número complejo a todo número real (a) al cual se le agrega un imaginario (b i ) es decir un número que de ninguna manera puede adicionarse "

Habíamos visto que a y b i son de dos ordenes distintos, que no se puede efectuar esa suma, tiene que quedar escrita ; cuando escribo 2+3i no puedo decir que eso suma 5 ( 2+3 ) ni 5i (2i+3i ), sino que es 2+3i, es esa escritura

No es posible adicionar, dice, ya que no es un número real hecho del producto de ( es i ) con b ; es la parte imaginaria .

" es decir, un número que no puede de ninguna manera adicionarse a él, al número real "

El número obtenido multiplicando b por ( es decir, multiplicando b por i, lo cual da b i ) no se puede adicionar al término a, porque son dos términos de un orden diferente ( a es real y bi es imaginario ) .

"Si definen a esto como número complejo, podrían hacer con ese número y con el mismo éxito, todas las operaciones que pueden hacer con números reales

O sea, sumar, restar, multiplicar, dividir, potenciar, y radicar

"y cuando se hayan lanzado en esta vía, no sólo habrán tenido la satisfacción de percibir que eso marcha sino que les permitirá hacer descubrimientos ; percibir que los números así constituidos tiene un valor que les permite particularmente operar de manera puramente numérica con lo que se llaman vectores" .

Antes hemos representado en un sistema de ejes cartesianos, el número complejo -3 + 2i . Consideremos otro número complejo, por ejemplo 2 + i

Lacan dice que el vector sería la representación geométrica y se puede sumar vectores, por ejemplo realizando un paralelogramo con esos dos vectores ; la diagonal del paralelogramo es la suma de los dos vectores (flecha mas gruesa ).

Pero ahora, podemos hacer la suma con los pares ordenados :

(-3; 2 ) + ( 2; 1 ) = ( -3+2 ; 2+ 1 ) = ( -1 ; 3 )

Con lo cual no tenemos necesidad de la construcción geométrica para acceder a esa suma vectorial ; vemos que el par (-1;3 ), obtenido sumando componente a componente, es el punto que corresponde al extremo del vector suma.

La suma ahora, se puede efectuar sin recurrir a la geometría ; fíjense que tanto con Dedekind como con los complejos, se trata de desprenderse de la geometría en el sentido de lo imaginario, de lo que se ve, de lo que se percibe por los sentidos y se buscan formas equivalentes más abstractas para realizar cálculos .

Al vector uno lo ve, pero con la escritura de los números complejos, se puede operar sin que haya representación visual .

"Podrán operar de manera puramente numérica con lo que se llama vectores, es decir con magnitudes que estarán no solamente provistas de un valor diversamente representable por una longitud, sino que además gracias a los números complejos podrán implicar en vuestra connotación no solo la magnitud, sino su dirección y sobre todo el ángulo que forma con tal otra magnitud" .

Para identificar un vector, no alcanza con dar un número ; es necesario indicar cuatro elementos del vector : origen .dirección, sentido y módulo .

El vector tiene un punto de partida ( origen ) y un punto de llegada. Si tuviésemos que orientar a alguien según ese vector, ¿cómo se lo diríamos?

Una forma es indicarle las dos coordenadas (en este caso –3 y 2) ; si pensamos en un sistema de calles, le diría vaya 3 cuadras a la izquierda y al legar doble a su derecha y camine dos cuadras .Pero también que desde el punto de partida visualice el punto de llegada girando el ángulo que el vector forma con el eje horizontal (llamado argumento) y diciéndole que camine según la longitud del vector ( que se llama módulo ) .

La longitud se puede calcular con el teorema de Pitágoras .En el ejemplo que vimos : el complejo -3+2i, se forma un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 2 ( la medida no lleva signo, es un número positivo ) ; el módulo es la hipotenusa de ese vector, entonces su valor es :

Yo estoy trabajando con representaciones que ilustran cómo llevar a una escritura aquello posible de representar; de este modo, se adquiere una herramienta para seguir operando allí donde no es posible representación alguna .

Aprendo a trabajar con pares ordenado ; hago las comprobaciones geométricas y me conformo con que esto funciona ; la vista tiene esa función que a uno lo convence más fácil que la pura abstracción .

Con los pares ordenados, estamos trabajando en un plano ; podría trabajar con ternas que son representables en el espacio de dimensión 3 . .Pero si en vez de una terna, tomo una llamada 4-upla (1,2,3,-1) (son cuatro coordenadas ) ya me fui de lo posible de representar . Esto solo existe como letra, no puedo ubicarlo por un segmento en un espacio concreto .

Sigamos :

"De manera tal que , que no es un número real demuestra tener desde el punto de vista operatorio, una potencia singularmente más impresionante, se puede decir, que todo aquello de lo que ustedes han dispuesto hasta allí limitándose a la serie de números reales .Esto para introducirlos en esa pequeña i Y entonces si suponemos que lo que buscamos connotar aquí de una manera numérica es algo sobre lo que podemos operar dándole este valor convencional ; ¿qué quiere decir esto?; que del mismo modo en que nos hemos esforzado en elaborar la función de la unidad como función de la diferencia radical en la determinación de ese centro ideal del sujeto que se llama ideal del yo, así mismo lo que sigue y por una buena razón es que lo identificaremos a lo que hemos introducido hasta aquí en nuestra connotación personal como es decir la función imaginaria del falo . Vamos a tratar extraer de esta connotación, todo lo que puede servirnos de manera operatoria pero mientras tanto la utilidad de su ilustración a este nivel, se ilustra así : es que si buscan lo que produce, esta función … "

 

POTENCIAS DEL NÚMERO i

Al realizar las potencias del número i, vemos aparecer una propiedad muy interesante .

Primero, calculemos las cuatro primeras :la potencia 0 de i, es 1 (por definición, la potencia 0 de cualquier cosa, es 1) .Ver la nota al pie1 .
La potencia 1 me da el numero i (repito i una sola vez )

i⁰ = 1

i¹ = i

i al cuadrado, por definición de i, es -1 porque i es tal, que su cuadrado es

-1 ( es la definición del i ) .

i² = -1

i elevado al cubo, es i por i por i ( tres factores i ) ; se puede pensar también como i al cuadrado, por i ; o sea (-1) por i, es decir -i .

i³ =i.i.i = i 2 .i = (-1).i = -i

i elevado a la cuarta : podemos pensarlo como i elevado al cuadrado, por i al cuadrado ; eso da -1 por -1, o sea +1 .

i4 = i2. i2 = (-1).(-1) = 1

Tenemos entonces :

i0 = 1 i4 = 1

i1 = i

i2 = -1

i3 = -i

Representemos estas potencias de i . La potencia 0 de i, por ser 1, está sobre el eje horizontal a una distancia 1 del origen de coordenadas ; i está a distancia 1 sobre el eje vertical . La potencia dos de i, es -1 ( 1 hacia la izquierda en el eje horizontal ) y la potencia tercera, -i, está a distancia 1 hacia abajo del eje vertical .

Vimos que todas las potencias siguientes van a repetir alguno de los valores así representados, ya que la potencia 4 de i, vuele a 1 ;la potencia 5 vuelve a i, etc.

Lacan toma al número i como soporte del sujeto ; es sugestivo el hecho que ese número que soporta al sujeto tenga una propiedad tal, que el conjunto formado por todas sus potencias enteras (potencias con exponente entero ) no tiene más que cuatro valores. Veamos una fórmula general para hallar la potencia n del número i ( siendo n, un natural cualquiera ) La regla es la siguiente: se divide n por 4 y se obtiene el resto. Cuando se hace una división entera, en este caso por 4, los valores que toma el resto son siempre números menores que el divisor ; en este caso, el divisor es 4 y por tanto los restos posibles van a ser 0,1,2,3 ( son cuatro posibles ) .Dividamos n por 4 : tenemos c el cociente y r el resto :

n |_4__
r c

Con lo cual, se tiene la propiedad que : n = 4c + r .

Por ejemplo si hubiera que dividir 7 por 2, eso da un cociente 3 y un resto 1, con lo cual al 7 lo obtengo multiplicando 2 por 3 y sumando 1

7 | 2__
3 1

7 = 2.3 + 1 = 6+ 1

Ahora vamos a usar dos propiedades de las potencias . Cuando en un exponente hay una suma eso equivale a haber multiplicado las potencias .

O sea que i elevado a la 4c+r, es lo mismo que i elevado a la 4c por i elevado a la r .

i ^4c+r = i ^4c . i ^r

Esto proviene de la propiedad que dice cuando multiplico dos potencias de la misma base, se obtiene otra potencia cuyo exponente es la suma de los exponentes, ¿ por qué ? Tener i a la 7 significa que i está multiplicada 7 veces por sí misma ; i a la quinta ( i 5 ) quiere decir que hay 5 factores i ; en total tengo 12 veces el factor i

( 12 es la suma de los exponentes 5 y 7 ) .

i5 .i7 = i12

O sea que: cuando hay producto de potencias de igual base se suman los exponentes ; ahora, esto está al revés : cuando en el exponente hay una suma lo descompongo en multiplicación . i ^4c+r = i ^4c . i ^r

Otra propiedad dice que, tener potencia de potencia, es efectuar la potencia con uno de los dos factores, y el resultado elevarlo al otro factor :Por ejemplo si tengo i a la 4c (i 4c ), elevo i a uno de los dos factores (puede ser cualquiera, pero en este caso conviene el 4 ) ( i 4) y al resultado lo elevo al otro factor .que en este caso es c

i 4c = ( i 4) c

Habíamos visto que i4 es 1 ; 1 por cualquier cosa, es eso .

Repito entonces todo el desarrollo:

i ^4c+r = i ^4c . i ^r = ( i 4 ) c . i r = 1 c .i r = 1. i r = i r

i ^4c+r = i ^r

 

Moraleja :si queremos saber cualquier potencia de i nos quedamos con el resto de la división por 4 y eso nos da alguno de estos cuatro lugares .

Por ejemplo, si queremos i a la 25, hacemos 25 dividido 4 ; no nos importa el resultado sino el resto que es 1, en cuyo caso el valor de i25 será i1 que es i.

El número 1 es el resultado que le corresponde a todas las potencias cuyo exponente sea múltiplo de 4 ( o sea, números cuya división por 4 produce resto 0 ) : i0, i4,i8 . Y estas potencias van a caer siempre en el lugar del 1 (a la derecha en el eje horizontal ):

Las potencias cuyo exponente al ser dividido por 4 tienen resto 1, esto es : i1, i5, i 9..., van a quedar ubicadas en i ( a distancia 1 arriba en el eje vertical ) ..

Las potencias de i sólo tiene 4 resultados posibles y dependen del resto de la división por 4 . En las clases dedicadas a lógica, vamos a ver que esto corresponde a que hay una relación de equivalencia entre las potencias de i que divide al conjunto en cuatro clases de equivalencias.

Si se fijan en el gráfico, el pasaje de una potencia a otra es de un cuarto de vuelta .

i (cuarto de vuelta : 90°)

Con las potencias de i no salgo de ese circuito ; con i4 vuelvo a 1 pero después de haber dado una vuelta . De acá lo que nos interesa es el tema de 4 y del resto . Tengo 4 lugares y saber en cual de los 4 lugares está una determinada potencia, depende del resto de la operación de n por 4 . Si quiero i30, hago 30 dividido 4, no importa el cociente, queda resto 2, entonces sé que estoy en el lugar de la potencia i2 que es -1 .

i30 = i2 = -1

RAÍCES DE LA UNIDAD

Insisto en que no es casual la elección que ha hecho Lacan para nombrar a i como el soporte del sujeto, porque nos encontramos con que es el número cuyas propiedades están ligadas al número 4, y a la repetición con diferencia.

Hay una curiosidad más con los números complejos ; ¿qué pasa con las raíces de la unidad? (raíces de 1, no de -1 ) Este tema no está en Lacan, pero me parece que ilustra la importancia de ampliar un campo .

¿ Que valores se obtienen al efectuar la raíz cuadrada de 1 ? : 1 y -1 porque cualquiera de estos dos valores al cuadrado dan 1 . Entonces el cálculo de la raíz cuadrada de 1, da por resultado dos números : 1 y -1 que ya sabemos que se pueden ubicar en una recta (la recta real) .

La raíz cúbica de 1 ¿cuánto da ? ¿ qué número, elevado al cubo, da 1 ? En el conjunto de los reales la solución es el número 1 . Lo interesante es que en el campo complejo hay tantas raíces complejas como el índice de la raíz ; si la raíz es cuadrada, el índice es 2 y hay dos soluciones : si la raíz es cúbica, el índice es 3 y hay 3 soluciones . Va a haber 4 valores para la raíz cuarta de 1 (índice 4 ).

Hay 3 números complejos cuyo cubo es 1 . No lo voy a demostrar ; simplemente digo que geométricamente, las 3 raíces están en una circunferencia de radio 1. La primera siempre es el 1 (uno a la derecha ) .

¿Cómo ubicamos las otras? . Dividimos el ángulo central (que mide 360°) por el índice ( en este caso, por 3 ), entonces las otras dos están a 120 grados partiendo del 1, equidistantes una de otra .

No me interesa entrar en el detalle de la escritura de esos complejos, simplemente quiero mostrar que cuando uno está en determinado campo, por ejemplo el de los números reales, uno "vería" una sola solución ( la del eje horizontal ) ; al ampliar el campo, se "ven aparecer" otras soluciones que antes no estaban ; que quedaban aplastadas . Si sólo cuento con el eje horizontal, tengo una sola raíz ; si amplío el campo, cuento con mas soluciones .Traigo esto, porque en una análisis dependiendo en que eje se sitúe el sujeto, o que campo tenga en cuenta, aparecerán 1 o mas soluciones, salidas posibles, vías posibles .Yo entiendo que el recorrido en un análisis va permitiendo el acceso a lugares que estaban "aplastados" ; en términos de grafos y nudos, se pasaría de un punto de intersección o vértice en un grafo, a un punto de cruce (arriba- abajo ) en un nudo

Las raíces cuartas están en una circunferencia de radio 1 ;la primera es 1 y las demás, a una distancia de 90º ( 360º : 4 = 90º ): Entones ¿ quienes son ? Nada más ni nada menos que 1, i, -1, y -i .

O sea que cualquier potencia de i coincide con una de las 4 raíces cuartas de la unidad, en el campo complejo .

Vayamos a leer el fragmento del seminario 9 en que habla de la constitución del sujeto, en 3 tiempos .

(a)

"Encontrar una fórmula convergente en la fórmula precedente (a) nos interesaría tanto menos cuanto que el sujeto es una función que tiende a una perfecta estabilidad, pero lo interesante, y es allí que doy un salto, porque para mostrar lo esencial no veo otro modo que comenzar por proyectar la tarea y volver luego a lo esencial ; tomen i haciéndome confianza con el valor que tiene exactamente en la teoría de los números donde se lo denomina imaginario ; esto no es una homonimia que por sí sola me parezca aquí justificar esta extrapolación metódica, este pequeño momento de salto y de confianza que les pido hacer ; este valor imaginario es este ".

"Mientras tanto la utilidad de su introducción, a este nivel, se ilustra así : es que si buscan lo que introduce esta función (a) ven a parecer una función que no es una función convergente a un límite sino que es una función periódica" .

Y ahora vamos a mostrar la repetición .Veamos la magia del número i ; recién vimos la repetición de las potencias de i ; ahora veremos que esta sucesión no tiene límite .

El concepto de sucesión y serie lo vamos a abordar en otra clase, pero por ahora interesa que vamos a escribirla por recurrencia, diciendo como se calcula un término cualquiera, conociendo el anterior . En este caso, cualquier término es igual a 1, más, i sobre el anterior :

Esta sucesión, si bien tiene infinitos términos, solamente provee 3 valores diferentes y por lo tanto esa sucesión no tiene límite, no converge .

El primer término vale

En general :

Con lo cual :

De igual modo que cuando se quiere eliminar raíces cuadradas del denominador, cuando hay un número complejo en el denominador se multiplica la fracción por el complejo conjugado del denominador (este procedimiento tiene por objetivo que en el denominador haya un número real). Multiplicamos entonces por i-1 el numerador y denominador de la fracción:

El tercer termino de la serie es :

Habíamos visto que cada término se obtenía como i más 1 sobre el anterior. La fórmula de recurrencia es en este caso :

El primer término es i + 1 ; el segundo es i + 1 sobre el primero, resultando la mitad del primero y el tercero da 1 :

Pero ahora el cuarto sería i más 1 sobre el tercero ; el tercero vale 1 ; es decir que el cuarto es i + 1, coincidiendo con el primero .

En el texto, cuando dice serie nosotros leeremos sucesión .Dice :

"la serie se define así : i+1 primer término, segundo término y tercer término 1 .

Ustedes reencontrarán periódicamente, es decir, cada tres veces en la serie este mismo valor, esos mismos 3 valores que les voy a dar .El primero es i + 1 es decir el punto de enigma en que nos encontramos al preguntarnos qué valor podríamos dar a i para connotar al sujeto en tanto antes de toda nominación .problema que nos interesa .El segundo valor que van a encontrar, a saber

es estrictamente igual a y esto es bastante interesante, pues la primera cosa que encontramos es esto que la relación esencial de ese algo que buscamos como siendo el sujeto antes que se nombre (que sería el i+1)con el uso que puede hacer de su nombre simplemente por ser el significante de lo que hay que significar, es decir, de la cuestión del significado justamente de esta adición de él mismo a su propio nombre, es inmediatamente dividirlo en dos, hacer que no quede sino una mitad de lo que había en presencia . Como pueden ver, mis palabras no están preparadas pero están sin embargo bien calculadas y estas cosas son de todas maneras el fruto de una elaboración que rehice por 36 puertas de entrada asegurándome por un cierto número de controles, teniendo en lo que sigue un cierto número de indicadores El tercer valor, es decir, cuando detiene allí el termino de la serie, será 1 simplemente, lo que puede tener para nosotros, bien mirado, el valor de una suerte de confirmación de cierre, quiero decir, que si es en el tercer término cosa curiosa tiempo hacia el cual, ninguna meditación filosófica nos ha llevado especialmente a detenernos, es decir en el tiempo del yo pienso, en tanto que es también objeto del pensamiento y que se toma como objeto es en ese momento que creemos llegar a alcanzar esa famosa unidad cuyo carácter satisfactorio para definir lo que sea, no es seguramente dudoso, pero del cual podemos preguntarnos si se trata de la misma unidad de la que se trataba al principio a saber en la identificación primordial y desencadenante . Al menos es necesario que deje por hoy abierta la cuestión ."

Queda entonces la sucesión consistente en estos 3 diferentes valores

Acá no hay un valor al cual se acercan los elementos de esta sucesión, sino que vuelve a aparecer i+1, (i+1)/2, y 1 ; la sucesión, por lo tanto, no es convergente porque sigue repitiéndose esa secuencia ; eso rompe la convergencia .Por ser cada término igual a : i más, 1 sobre el anterior ; el quinto es i más, 1 sobre el cuarto ; como el cuarto es i + 1, el quinto término resulta igual que el segundo .

Las potencias de i se repetían cada 4 ; i0 daba igual que i4, ,,, Ahora, los elementos de esa sucesión, se repiten cada 3 : a1 es igual a a4 y es igual que a7; a2 es igual a a5 .

O sea que el número i está asociado a fenómenos donde es posible una repetición ; repetición con diferencia porque la potencia 0 es igual que la potencia 4, pero eso ocurre después de haber dado una vuelta completa . Si miran el dibujo, se vuelve al mismo punto espacial pero después de haber hecho un recorrido distinto.
Con la sucesión ocurre algo similar :al recorrerla, se obtienen únicamente esos 3 valores pero cada vez que se alcanza el mismo valor, el recorrido que se ha hecho es diferente .Entonces hay repetición pero hay diferencia .

Si esta parte de sucesiones no les quedó suficientemente clara, recuerden que voy a desarrollar un poco más este tema cuando veamos el número de oro en la clase que viene ; allí vamos a trabajar con la otra sucesión que está en la misma clase del seminario 9 y las vamos a comparar .

Para terminar por hoy, les comento algo mas sobre el número i . Es un número cuya presencia está ligada a los avances científicos o "saltos" que revolucionaron el comienzo del siglo XX : la física relativista de Einstein y la mecánica cuántica .

Estamos acostumbrados a la consabida frase que el orden de los factores no altera el producto y hemos venido experimentando la verdad de esa aserción en el caso de multiplicación de números, por ejemplo 2 por 3 es 6 y 3 por 2 es 6 .O sea que la multiplicación de todos los números que hemos visto, es conmutativa . Pero hay otras objetos, llamados matrices, cuyo producto no es conmutativo ; quiere decir que si A y B son dos matrices, la mayor parte de las veces A.B no va a ser igual a B.A . En física cuántica se considera una matriz X también llamada operador posición y una matriz P, llamada operador cantidad de movimiento ; como XP no es lo mismo que PX se construye la diferencia XP –PX que se llama el conmutador de ambos operadores y que se escribe con un corchete [ X,P]. De esta forma, la escritura formal del principio de incerteza de Heisemberg es :

Ahí tenemos al número i ; h(barrado), que se dice h barra ( ¿está barrada la h? ) es la constante de Planck.

Ustedes saben que si ven un automóvil paseando por una carretera, es posible determinar con precisión su posición x y su velocidad v o bien su posición x y su cantidad de movimiento p ( p es la multiplicación entre la masa y la velocidad, es decir que depende de la velocidad ) .Por ejemplo se puede decir que el auto está a 400 km de Buenos Aires y su velocidad es de 100 km/h . Bueno ¿Qué dice el principio de incerteza? Dice que si el objeto en cuestión es una partícula atómica, no se puede determinar SIMULTANEAMENTE la posición y la velocidad ; si se localiza la posición se indetermina la velocidad y si se determina la velocidad se deslocaliza la posición. La pregunta que me surge es : ¿podríamos decir que en el fantasma la relación entre sujeto y objeto a es al modo de la cuántica? : si se está próximo al objeto a, entra en fading el sujeto.

Veamos que pasa con la relatividad, ¿qué hizo Einstein?

Llamemos (x, y, z) a las tres coordenadas espaciales que indican un punto del espacio ; Einstein propuso un nuevo tipo de espacio, que podríamos llamar espacio- tiempo, para lo cual armó la cuarta dimensión.

Una velocidad por un tiempo es un espacio ; si voy a 80 km /h y anduve 2h ;la multiplicación de ambas cantidades, da 160km que es el espacio que recorrido en esas dos horas ; entonces si tomo por ejemplo la velocidad de la luz (c) y la multiplico por el tiempo t, el producto ct tiene unidades de espacio ; sería el espacio recorrido por la luz en ese tiempo t .Einstein a este valor espacial ct lo multiplica por i para dar cuenta también de un cambio de otro orden y propone como cuarta coordenada de este nuevo espacio, a un espacio complejo : ict que incluye el tiempo .

Hay un error de transmisión con respecto a la relatividad ; no es que antes no había relatividad, porque ya existía la llamada transformación de Galileo . Supongan una persona caminando dentro de un tren . La descripción del movimiento, realizada por un observador que esté dentro del tren, va ser diferente que la descripción del movimiento observada desde el andén ; por lo tanto se habla de movimiento relativo. Pero está claro que los relojes están sincronizados ; si para el que viaja en el tren pasaron 10 minutos, para el que está en el andén también pasaron 10 minutos . Esto ocurre para móviles que viajan a velocidades muchos menores que las de la luz.

Lo que Einstein hace es una operación con el tiempo . Además de juntar el espacio con el tiempo, Einstein dice que si hay una partícula con velocidad cercana a la de la luz, el intervalo de tiempo, difiere según que la observación se realice en un sistema fijo o en un sistema que se mueva con la partícula . Cambia el intervalo de tiempo, esa es la relatividad de Einstein . .Es decir que el intervalo de tiempo, depende del sistema

La teoría de la relatividad de Einstein, se utiliza para partículas que se mueven con velocidades cercanas a la de la luz, o sea que no puede ser aplicada a personas en movimiento, sino para partículas atómicas . Pero son divertidas las paradojas que aparecen si uno plantea que lo que se mueve así es un hombre .La paradoja de los mellizos dice que si uno de los mellizos se fuera de viaje en una cápsula espacial (a una velocidad cercana a los 300.000 km/s ) al volver, el que quedó en la tierra sería un anciano y el que viajó estaría hecho un "pendejo". A veces pienso que en el sueño se alcanzan velocidades relativistas que provocan esta diferencia entre el intervalo de tiempo en que se sueña (REM) y el intervalo de tiempo del relato del sueño que es lo que nos interesa en psicoanálisis .

Por de pronto, me resulta interesante encontrar que el número i Lacan lo presente como soporte del sujeto, y este mismo número i esté ligado en la física a la incerteza y a lo relativo del intervalo de tiempo, dos significantes muy importantes en psicoanálisis

Si les interesa la paradoja de los mellizos hay un libro que se llama Introducción a la relatividad especial, de James H. Smith, Ed Reverté

Bueno, hasta la próxima clase, de aquí a un mes.

Notas

(1) Repasemos la división de potencias de igual base : si hacemos x5 dividido x2 , tenemos arriba 5 veces la x , abajo 2 veces , se simplifica y queda la x , 3 veces multiplicada , es decir x3 . El 3 se obtiene de restar 5-2 (los exponentes)

x5 = x 5-2 = x3
x2

por tanto

x5 = x 5-5 = x0
x5

pero dividir dos cosas iguales da 1 ,con lo cual la potencia 0 da 1 .

O sea que dividir dos potencia iguales ,por un lado es la potencia 0 y por otro lado da 1 ; con lo cual potencia 0 de cualquier cosa se define como 1 .