Seminario
De la lógica a la
topología en psicoanálisis:
Un recorrido posible
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Organizado por : PsicoMundo
Dictado por
:
Mónica Lidia Jacob
Clase 3 - Parte
A
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NÚMERO DE ORO
Antes de comenzar el desarrollo del número de oro , que nos llevará dos clases , quiero presentar nuevas citas de los seminarios de Lacan , en las cuales se soporta nuestro recorrido .
En el seminario 20 dice :"los símbolos matemáticos no se sabe en lo más mínimo que quieren decir, pero se transmiten aunque con ayuda del lenguaje [ ] .El nudo es realmente como pienso un hecho lógico" .
En el seminario 17 cuando habla del objeto a , dice : "de este trayecto surge algo que se define como una pérdida y eso es lo que designa la letra que se lee como el objeto a".
En el seminario 21 dice al mencionar RSI :" notar bien que estas 3 categorías son equivalentes . ¿Cual es el truco ? las designamos por medio de letras" ( es a partir de ahí que las hace equivalentes ,al ponerlas como letras ) " y esta apertura enteramente nueva del álgebra …….."
Y cuando anota el discurso analítico dice : "no se trata en este caso de ser incauto de mis ideas ,porque estas cuatro letras no son ideas ; están hechas para que sea imposible darles un sentido ,lo que no significa que no se pueda hacer algo con ellas . El núcleo clave de su matemática, la de la inscripción del discurso analítico es probablemente que sirva para lo mismo que la matemática : que lleva en sí su propio límite" .
Creo que acá se refiere al teorema de Gödel , que no vamos a desarrollar pero cuyo enunciado lleva en sí mismo un límite . El teorema enuncia desde la aritmética , lo que la aritmética no puede .
Es posible que en muchos momentos , les resulte árida nuestra travesía Para ese entonces , tengan presente que en el trabajo con símbolos matemáticos , hay una operación que sólo se realiza en el recorrido mismo , en el trabajo efectivo , independientemente que se recuerden o no , los contenidos. Sabemos que esta es la estructura misma de un análisis donde hay algo que se produce en el recorrido . Y a esto se refiere Lacan en una de las citas antes mencionadas cuando dice que las letras están hechas para que sea imposible dar un sentido pero eso no significa que no se pueda hacer nada con ellas .
EL NÚMERO DE ORO
Voy a trabajar con el número de oro por tres vías . Primero plantearé el problema de la división áurea o proporción armónica , cuya solución algebraica es el número de oro ; luego recordaré la construcción geométri ca del final de la clase 1 que nos permite obtener el número de oro utilizando regla (sin que importe aquí la división métrica , la que da los milímetros y centímetros) y compás . Y por último , tomaremos la vía del análisis matemático ; desarrollando los conceptos de sucesiones y series, veremos surgir el número de oro como límite de la sucesión de Fibonacci.
Razones y proporciones
Dados dos elementos a y b ( ya sea que indiquen letras ,números o medidas de segmentos ) , se denomina razón entre a y b a la división de esos dos elementos .
a
bEso se lee "a sobre b " y representa la razón de esos dos elementos . Si lo pensamos numéricamente , con la ayuda de una representación geométrica , tomamos un segmento que dividimos en dos partes iguales :
La zona gruesa ,es la mitad del total y queda representada por la fracción ½ porque es una parte en un total de dos partes .Tenemos entonces la razón entre 1 y 2 , que en este caso da por resultado un número racional , 1/2 Presten atención a una primera diferencia . La razón es una operación que liga dos elementos ; en este primer ejemplo esa razón da por resultado un número racional o fracción ½ .
Si tomo un segmento que divido en tres partes iguales :
Al segmento sombreado le corresponde la fracción 2/3 ( dos tercios) porque tomé 2 partes de las 3 en que estaba dividido el total.
En una razón ,el elemento que está ubicado arriba de la barra es el antecedente y el elemento que queda bajo la barra es el consecuente .
Esto en cuanto a lo que sería una razón .
Ahora bien , para armar una PROPORCIÓN se necesitan cuatro elementos y una igualdad
Si tenemos 4 ELEMENTOS (pueden ser números , letras o medidas de segmentos ) , se dice que esos 4 elementos a,b,c,d, EN ESE ORDEN forman una proporción , si la razón (la división ) de los dos primeros es igual a la razón de los dos últimos .
Esta proporción se puede leer así : a es a b como c es a d . O bien que :el antecedente de la primera razón es a su consecuente como el antecedente de la segunda es al consecuente de la segunda . Esto establece una proporción .En el caso en que los cuatro términos a,b,c,d son distintos ,la proporción se llama discreta.
Por ejemplo si tenemos los números : 6,3,8,4 , se dice que forman una proporción porque 6 sobre 3 (6 dividido 3) da 2 y 8 dividido 4 también .
Una propiedad que se establece para las proporciones es que no solamente hay una igualdad entre estas dos razones sino que además hay una igualdad que coincide con otra razón que se obtiene ubicando en el antecedente ( arriba de la barra) la suma de los antecedentes y en el consecuente (abajo ) la suma de los consecuentes .O sea :
Un caso particular de proporción , es el caso de la proporción continua .Si en vez de tener 4 elementos se tienen 3 ,por ejemplo a,b,c se puede establecer una proporción continua a condición de que el consecuente de la primera razón sea el mismo que el antecedente de la segunda .
Es decir que dados tres elementos : a,b,c se puede armar una proporción continua repitiendo el del medio , o sea ubicando b en dos lugares.
¿Qué es medir ? Vamos al tema de lo inconmensurable y la común medida
Medir es comparar con un patrón de medida . Consideremos dos segmentos , uno de los cuales lo tomo como patrón de medida ; medir es ver cuantas veces entra en el otro segmento , ese que tomé como patrón . Por ejemplo si un segmento es de 6 cm y otro de 2 cm , el de 2 cm entra 3 veces en el de 6 cm ; ahí diríamos que la medida es 3 .Para que haya común medida , el cociente debe ser racional (o sea división de dos números enteros ) : en este caso 6 / 2 da 3 .
Una razón como por ejemplo 0.2 , es un racional porque se puede escribir como 2/10 . Que haya común medida quiere decir que cuando uno divide las medidas de los segmentos , la fracción es un racional
Dados dos segmentos, se dice que tienen común medida , si la razón de sus medidas ,da por resultado un número racional ; recuerden que los enteros están dentro de los racionales , con lo cual si la razón es un número entero, hay común medida .
Lacan plantea de dos maneras el número de oro . Una de ellas es:
División áurea .
Tomemos un segmento PQ y veamos si existe un punto R de ese segmento , que divida a PQ en dos partes ( dos nuevos segmentos ) PR y RQ ; es decir los griegos se preguntaban dónde tiene que estar el punto R para que los segmentos :
PQ (el que querían dividir ) y los formados a partir de R ( PR , RQ ) formen una proporción continua .
PQ, PR y RQ tienen que formar una proporción continua :PQ ( el que queremos dividir ) dividido por PR (el mayor de los segmentos que buscamos ) ha de ser igual a la razón entre PR y RQ .
Es decir que el problema de la división áurea es : ¿existirá un punto R que divida al segmento dado PQ , de manera que se cumpla la proporción siguiente?
Los griegos , por medio de una construcción geométrica , hallaban el punto R que hacía que los 3 segmentos cumplan esa proporción, pero vamos a ver qué sucede con el cálculo algebraico .
Este es el problema de la división áurea ; ahora vamos a usar las letras que usa Lacan .
Encontrar dónde está el punto R ,es equivalente a saber cuanto tiene que medir el segmento PR ; a ese valor lo llamamos x y a la medida de RQ lo llamamos 1 por ser el patrón de medida , con lo cual PQ mide x+1 . Vamos a armar la proporción con estas letras :
El segmento que uno quiere dividir (x + 1) ,es al mayor de los que se obtienen (x) , como el mayor de los que se obtienen ( x) es al menor (1) . Las proporciones se leen así : el numerador de la primera es al denominador de la primera como el numerador de la segunda ,es al denominador de la segunda .
Ahora podemos operar algebraicamente . En toda proporción la multiplicación de los extremos , da lo mismo que la multiplicación de los medios . El medio es en este caso x ( el que está dos veces )
Pasamos términos : x y 1 pasan del miembro izquierdo al miembro derecho , restando (los positivos pasan de miembro con signo contrario ).
No olvidemos que estamos buscando la medida de x que va a decir dónde se encuentra R .O sea que x es la longitud del segmento PR .
Todavía no sabemos cuanto vale x , pero sabemos que es la solución de esta ecuación y sabemos que es mayor que uno porque dijimos que el segmento mayor es x . Una ecuación es una igualdad que sólo vale para algunos valores de su letra ( sólo para algunos x , no para todos ) . Esta ecuación que tenemos ahí es una ecuación de segundo grado ( la incógnita x está elevada al cuadrado ) , cuya forma general es :
Esta es la forma general de cualquier ecuación de segundo grado ; consta de tres términos : la incógnita x está elevada al cuadrado y se multiplica por un número A ; la incógnita multiplicada por otro número B y el tercer término es un número C . Este es el modelo; asignando valores numéricos a las letras A,B,C, obtenemos infinitas ecuaciones de segundo grado
Una ecuación tiene un único A, un único valor de B y un único valor de C.
La teoría , da una fórmula para hallar las soluciones de esta ecuación.
En la ecuación que habíamos obtenido : x2 - x- 1 = 0, los valores particulares de A,B,C son :
A = 1 (el número que multiplica a x2)
B= -1 (el que multiplica a x )
C = -1 ( término sin x) .
Sustituyamos estos valores en la fórmula (1) , recordando que si .
B vale -1 , - B vale 1 :
La matemática dice : ese es el modelo de ecuación de segundo grado que tiene dos soluciones ; eso es en abstracto y sirve como herramienta ; según en qué territorio estemos podrá no haber solución o habrá una o nos servirán las dos soluciones.
Aquí , nosotros estamos buscando la medida de un segmento , con lo cual la solución debe ser un número positivo . Por lo tanto descartamos la segunda solución por ser un número negativo (ninguna medida puede serlo) La primera solución entonces es el NUMERO DE ORO ,que mostramos en la clase 1 que es un número irracional ( no puede escribirse como cociente de enteros )
Pero ¿qué sucedió? Buscábamos dividir este segmento PQ en dos partes : una que sirva de unidad de medida ( por eso la llamamos 1 ) , y otra que mide x ; la razón entre ambas , entre PR y RQ es x .que dio por resultado el número de oro ; por lo tanto x es irracional .O sea que este segmento PQ podemos dividirlo geométricamente y algebraicamente según la división áurea , pero los segmentos que se obtienen de la división , no tienen común medida ,porque su razón es un numero irracional .
Hemos partido de la proporción :
y obtuvimos para x el valor
( x =
¿Qué hace Lacan con esto ?
En " De un otro al Otro" (seminario 16 ) pregunta si existe común medida entre el A y el a , o sea si hay relación sexual . Para responder esa pregunta toma dos segmentos de medidas A y a cuya razón es el número de oro .
Que haya común medida significa , como ya dijimos ,que la razón es un racional (división de enteros ) .Esta relación del Otro al otro es el número de oro
y por eso entre A y a no hay común medida .
Si toman una calculadora y realizan esta cuenta : 1 más raíz de 5 , todo eso dividido 2 les va dar aproximadamente 1.618 ; pero atención que ese no es el número de oro , sino que es un número racional que aproxima al numero irracional llamado número de oro (porque cualquier calculadora tiene un número finito de cifras , por lo cual nunca trabaja con el irracional )
A/a la razón entre A y a ; no es una proporción ; la proporción sería :
Si quiero saber si hay común medida entre el Otro y el otro , a la fracción
A / a la llamo x . Si x fuese racional habría común medida
En una proporción es válido dividir todos los elementos por un mismo numero o letra arbitrariamente ; en este caso voy a dividir todo la proporción precedente por a .
Llegamos entonces a la ecuación en x cuya solución es el número de oro , con lo cual la razón entre A y a que llamamos x , corresponde al número de oro; por ser éste , un número irracional , no hay común medida entre A y a .
Entonces en el seminario 16 ,Lacan usa el número de oro para demostrar la no común medida entre el Otro y el otro .
En Encore (seminario 20 ) , en cambio dice :" he usado estas funciones para tratar de representarles lo inadecuado de la relación del 1 al otro , y di antes como soporte de ésta al numero irracional llamado número de oro ".
En el seminario 16 quería ver la relación entre el Otro A y el otro a ; en los seminarios 17 y 20 quiere ver la relación del 1 (rasgo unario ) al a :
Invirtiendo las dos razones la proporción se mantiene (esta es una propiedad de las proporciones) :
En la página 168 del seminario 17 , tiene escrita la anterior , sin el 1 en el denominador derecho :
¿Qué dice esta expresión (2)? Que a vale lo mismo que
Pero en esta expresión (3 ) figura la letra a en el denominador , y podemos sustituir esta a ,por su equivalente según (2) , que es la misma expresión (3)
Sustituyendo en (2) , la letra a del miembro izquierdo ,por todo el miembro izquierdo , es decir en lugar del a de la izquierda de (2) , ponemos (3), y nos queda :
Repito la operación y al a del miembro izquierdo de (4) lo sustituyo por (3) que es el miembro izquierdo de (2)
En la página 169 del seminario 17 de la edición castellana de Paidós, esta relación está mal escrita .Revisen.
Antes de pasar a la versión analítica del número de oro , recapitulemos lo que hicimos hasta ahora
Me habían preguntado por qué común medida y no medida solamente .
Lo que habíamos visto es que si consideramos dos segmentos que llamamos A y a , el problema de la proporción áurea consistía en encontrar la medida de esos segmentos A y a de modo tal que se cumpla la siguiente proporción continua : el segmento total (A + a) es al mayor (A) , como el mayor (A) es al menor (a) :
El miembro derecho es la relación del Otro al otro .El cálculo nos daba que esa razón, ese cociente, era el número irracional llamado número de oro.
Si hubiera común medida entre los segmentos A y a querría decir que Es decir que existiría una misma unidad de medida que entraría un número exacto de veces en A y otro número exacto de veces en a . Por ejemplo si encontrara un segmento unitario que llamo u , que entrara 3 veces en A y 2 veces en a . Si eso ocurriera , la razón entre A y a sería racional Porque si u entra 3 veces en A y u entra 2 veces en a , la razón de A y a sería 3/2 que es racional ; si la razón de dos segmentos es racional hay común medida entre ambos .
Pero hemos visto al desarrollar algebraicamente la ecuación
que el resultado de la razón A/a ( que llamamos x ) es el número de oro ; esto quiere decir que la relación del Otro al otro es un irracional y eso quiere decir que no hay común medida entre ambos dado que el número irracional es aquel que no se puede escribir como cociente de enteros y por eso no hay común medida entre A y a . Dicho de otra forma , no hay escala común , no las puedo poner en comparación , son de dos ordenes o estatutos diferentes .
Otra cosa que hace Lacan con esta misma idea es : en vez de tomar el Otro y el otro ,toma el 1 y el a ; para mostrar que no hay conmensurabilidad entre el rasgo unario y el otro . Si planteamos la proporción continua tenemos que : 1+a (la longitud total) es al mayor (1) como el mayor (1) es al menor(a) :
La relación del rasgo al otro es el mismo número de oro ; tiene la misma solución que la relación del Otro al otro .
No hay común medida pero sí proporción . Para armar la proporción se necesitan 4 elementos ; en cambio la común medida se define con dos elementos . Dados dos elementos A y a , la proporción continua se forma con los siguientes tres :
A este número de oro , lo estamos estudiando según tres presentaciones posibles.
En la primera clase , mostré la escritura del número de oro , como número irracional y la correspondiente representación geométrica .
En esta clase , el número de oro surgió como solución de la ecuación algebraica que se obtiene al plantear el problema de la división áurea .
Nos falta entonces mostrar el número de oro, como límite de una sucesión construida con la sucesión de Fibonacci .
Pero antes de eso voy a repetir la construcción geométrica de la clase 1 .
Tomemos un segmento de recta que llamamos OP y tiene longitud 2 ; en P levanto un segmento perpendicular de medida 1 , con lo cual queda un triángulo rectángulo cuya hipotenusa OR podemos calcular , de acuerdo a Pitágoras :
Con el compás trasladamos esa medida
sobre la recta que contiene a OP y nos queda el segmento OS de medida Ö5 ; a éste le agrego el segmento SQ que mide 1 ; así que el segmento OQ mide
Se llama mediatriz a la recta perpendicular a un segmento dado , que lo corta en dos partes iguales . Hay un procedimiento geométrico que permite construir la mediatriz con regla y compás . Haciendo centro en O , con una abertura cualquiera del compás ,se traza un arco superior y un arco inferior ; estos arcos son cortados por los que se realizan haciendo centro en Q . Se unen los puntos de cruce T y H y tenemos la mediatriz . Con lo cual OM es la representación del número de oro . He usado el compás para ubicar el punto medio del segmento porque la regla no sirve para ubicar irracionales . Los griegos habían visto que con los irracionales había problemas de medida ,pero sin embargo había representación geométrica . Es decir que existe un segmento que corresponde al número irracional , que se puede construir con regla y compás
SUCESIONES Y SERIES
Una sucesión es un conjunto infinito NUMERABLE de elementos (vamos a considerar números reales ) . Numerable quiere decir que se puede poner en correspondencia con el conjunto de números naturales . A cada número natural n le corresponde un elemento de la sucesión , llamado un
Hay 3 formas de definir una sucesión :
a) Por extensión
Se nombran todos los elementos que forman la sucesión. Por ejemplo :
1,4,9,16,.............
El primer elemento o primer término de la sucesión se nombra genéricamente u1 ( el subíndice que indica el lugar que ocupa el número ) . Imaginemos infinitos casilleros dentro de los cuales vamos a ubicar números . Cada " casillero" tiene un número de orden (ese orden es un número natural ) .O sea que tenemos casillero 1, casillero 2 , casillero 3 , etc. Y dentro del casillero 1 en este caso se ubica el número 1 ,en el segundo casillero ubiqué le 4 , etc. Formalmente eso se escribe :
u1 = 1
u2 = 4
u3 = 9
Vale decir que el primer término de la sucesión es el numero 1, el segundo es 4 y el tercero es 9
un representa el enésimo ( n quiere decir un orden cualquiera ).
Esta es una forma de representar :
u1 es el primer término de la sucesión o sea que u1 indica el número real que ocupa el lugar 1 ; u2 quiere decir el segundo ; el que dice el lugar es el subíndice .
El conjunto de los naturales : se puede considerar como una sucesión en la que el primer lugar lo ocupa el número 1, el segundo lugar corresponde al número 2 ; es decir que el número colocado en el casillero coincide con el número de casillero . Vale decir que el conjunto N es una particular sucesión en la cual :
u1=1
u2=2
u3 = 3
………
un = n
Los naturales históricamente empezaron con el 1 . Al estudiar las estructuras algebraicas es conveniente contar con un elemento neutro ( que es el 0 para la suma ) .
N0 indica el conjunto de los naturales incluyendo al 0 ; entonces , el conjunto N0 puede ser considerado una sucesión en la cual
u1=0
u2=1
u3 =2
………
un =n-1
Entonces , decir cuales son todos los elementos de una sucesión , es una de las formas posibles de presentar una sucesión : por extensión.
b) Por fórmula
Esta segunda opción para definir una sucesión , consiste en dar una fórmula , que indique ,para cada n (natural ) cómo se calcula el un correspondiente .
Un ejemplo posible es el de la sucesión :
{1/n }n e N
Dentro de llaves se ubica una fórmula cuya variable es n . Fuera de la llama se indica el rango de valores que toma n , que es el de los números naturales
La notación n e N se lee : n es un numero natural ; es decir que n toma valores dentro del conjunto de números naturales .
El primer elemento de esta sucesión corresponde a reemplazar la letra n por 1 ; es decir :1/1 El segundo corresponde a n=2 ,o sea : 1 ; el tercero es 2
Vamos a considerar ahora otra sucesión :
{ 1 / 2n } n e N
el primer término es 1 sobre , 2 elevado a la 1 o sea 1/2 ; el segundo es 1 sobre el resultado de elevar 2 al cuadrado ,o sea 1/4 ; el tercero se obtiene dividiendo 1 por , 2 elevado al cubo, con lo cual es 1/8.
Estas son dos sucesiones distintas dadas por fórmula .Vamos a representar en la recta ambas sucesiones .
Se observa que en ambos casos los elementos de la sucesión se están " acercando "al 0 , sin llegar a alcanzarlo ; ningún elemento de la sucesión vale 0 ,puesto que tienen numerador distinto de 0 [ para anular una fracción tiene que ser 0 el numerador ] . En ambas sucesiones el numerador siempre es 1 , luego nunca va a haber en esas sucesiones un elemento que valga 0 , pero sí un número "casi " 0 ,por ejemplo 0.0000000000000000001 .
No hay un elemento 0 en la sucesión , pero sí se puede decir que ambas sucesiones tienen límite 0 . Eso se escribe así :
Es una escritura que indica el limite de una sucesión .
Cualquiera de estas dos sucesiones está formada por un conjunto, de números que van disminuyendo . El 0 no pertenece a la sucesión , no es un elemento de la sucesión , del conjunto ; sin embargo hay un límite que para valores cada vez mayores (tendiendo a infinito) da valor 0.
La operación de límite pone tope a la infinitud ; hace aparecer un elemento que corta la infinitud . Mi lectura es que el límite está ligado a la operación de la metáfora , en el sentido de romper la metonimia . Ya lo veremos. La operación de límite hace aparecer algo que no necesariamente estaba y pone un tope .
En estos dos ejemplos el límite es el mismo .
Estos ejemplos nos van a servir para marcar las diferencias con las series .
Vimos entonces cómo se define una sucesión a partir de una fórmula y vimos el límite de una sucesión . En algunas traducciones aparece sucesión y serie como si fueran sinónimos ( yo voy a marcar una diferencia ) .
c) Por recurrencia
La sucesión de Fibonacci es un ejemplo de sucesión dada por recurrencia . Lacan utiliza la palabra recurrencia en El saber del psicoanalista y en el escrito sobre agresividad .
Dar una sucesión por recurrencia , consiste en tomar un primer elemento ( o los dos primeros ) y luego, en vez de dar una fórmula general para cualquier término, se da una fórmula donde un término se obtiene operando con el anterior ,o los dos anteriores (este último caso es el de Fibonacci )
Si escribo por ejemplo la formula 1 / 2n , para calcular el quinto término no necesito saber los anteriores ; directamente reemplazo n por 5 . Si quiero el término 28 de la sucesión reemplazo n por 28 y ya está .
Si la sucesión viene dada por recurrencia ,para saber el término 28 necesito saber quien es el término de orden 27 ( el anterior ) o bien , los dos anteriores .
La sucesión de Fibonacci es aquella cuyos primeros dos términos valen 1, y todos los demás se obtienen sumando los dos anteriores . Es decir :
u1 = 1
u2 = 2
u n+2 = u n+1 + un
un es el número correspondiente al casillero n (cualquiera ) ; u n+1 es el número que está en el casillero siguiente y u n+2 el que sigue . Por ejemplo ,cuando n= 5 , valdrán n+1=6 y n+2 es 7 ; para calcular qué número se ubica en el lugar 7 ,necesito saber quien está en el lugar 6 y quien en el 5 ; es decir que n y n+1 indican los lugares anteriores al n+2 [ En la sucesión de los números naturales tengo un número n cualquiera ; el número natural que le sigue es n+1 y el que sigue a n+1 es n+2 ].
Para calcular el número ubicado en el lugar n+2 necesito saber los números que van a los lugares anteriores. Esto quiere decir dar una sucesión por recurrencia .
Se puede obtener una sucesión por recurrencia a partir de un sólo elemento anterior .Por ejemplo , tomar :
u1 = 7
u n+1 = un + 3
Esta se forma así : a partir de 7 , a cada término le sumo 3 ; es decir para obtener un término de la sucesión tomo el anterior y le sumo 3 . Este es un ejemplo posible .
Por recurrencia puedo usar la fórmula que quiera ; por ejemplo :2 u n+1 + 3un, pero para que sea Fibonacci tiene que ser la suma de los dos anteriores .
Sucesión de Fibonacci :
Es aquella cuyos dos primeros términos valen 1 y los restantes se obtienen siempre sumando los dos anteriores . Esto se escribe así :
u1= 1
u2 =1
u3 = u2 + u1 = 1+1 =2
u4 = u3 + u2 = 2+1 =3
Siempre con los dos anteriores , el próximo es 2+3 que es 5 , 5+3=8 , 8+5=13. O sea que escrita por extensión :
1 , 1 , 2 , 3 ,5 , 8 , 13 ,.........
El punto de partida de cualquier sucesión definida por recurrencia es arbitrario ; en este caso Fibonacci tomó como origen los dos primeros términos de valor 1 .
Voy a construir , a partir de la de Fibonacci , otra sucesión más .
Partimos de : 1,1,2,3,5,8,13.... y realizamos la división entre un término y el anterior :
u n+1
--------
un
Si se toma el limite de esta sucesión construida sobre la de Fibonacci ,ese límite es el número de oro .
Ahora voy a mostrar cómo Lacan en el seminario 17 tomó otra sucesión con los cocientes inversos a la anterior : en lugar de tomar el cociente de un término al anterior , toma el cociente de un término al que le sigue :
u n
--------
u n+1Partiendo nuevamente de la de Fibonacci :
1.1.2.3.5.8.---
habíamos armado la sucesión formada por las divisiones de un término y el anterior ; también podemos armar la sucesión con la división entre un término y el que sigue :
Si la anterior dio el número de oro , esta va dar la inversa del número de oro
Si 1/ a es el número de oro , cuya aproximación es 1.618 , al invertir la fracción , a/1 será igual a 1/ que tiene por aproximación al racional 0.618 :
Lacan muchas veces llama número de oro a 1/
Si
Invertir una fracción es darla vuelta. Cuando hay una fracción es posible multiplicar arriba y abajo (numerador y denominador ) por el mismo número (porque en realidad estoy multiplicando por 1 ) .El número por el que multiplique es arbitrario ; es en principio el que quiera ; pero , ¿ qué es lo que busco ? que el denominador quede sin raíces . Esto se llama racionalizar denominadores , quitar las raíces del denominador . Entonces , si el denominador tiene una suma , se multiplica por la diferencia ; en este caso el denominador es
con lo cual se multiplica arriba y abajo por
.
Hay una propiedad que dice que si tenemos una suma de dos elementos y se la multiplica a la suma por la resta de los mismos dos elementos , se obtiene la diferencia de los cuadrados de los elementos .
Esto es :
Queda entonces :
En el seminario 17 dice :" la vuelvo a escribir aquí , ya saben que me serví de ella cuando hable del Otro al otro" . Y escribe esta forma : parecida a lo que vimos el otro día .
Lacan dice que esta sucesión tiene por límite al número de oro .
El primer término se obtiene con lo que está arriba de la primer raya horizontal : o sea un 1 ; el segundo término consiste en tomar lo que está arriba de la segunda raya : queda 1 sobre 1+1 ( es una manera de leer cuando se denota así ); luego lo que queda arriba de la tercera y así siguiendo . Queda entonces :
Si se fijan ,siempre estoy haciendo 1 sobre 1 mas el número anterior .En verdad esto podría escribirse como
Quedó : primer término 1; segundo ½ . tercero :
O sea :
Moraleja : esto tiende a 1 sobre el número de oro . Muchos irracionales se pueden escribir como la sucesión de la cual son el límite y se escriben de esta forma .
Para terminar , veamos cual es la diferencia entre sucesión y serie .
Teníamos al principio dos sucesiones : 1/n y (1/2n ) En la sucesión hay infinitos números en diferentes casilleros. Para armar una serie hay que tener una sucesión y sumar sus elementos . Esto se indica con el símbolo sumatoria (letra sigma mayúscula ) :
Para que haya serie tiene que haber suma de los elementos . LA SERIE ES LA SUMA DE LOS INFINITOS TERMINOS DE UNA SUCESIÒN
La intuición a uno le dice que si uno acumula infinitos términos llega a infinito
Cada serie ,es la suma de infinitos términos ,pero veamos las variantes que esta suma da .
Queremos ver si sumar estos infinitos términos ,da un numero finito o si da infinito . Se construye para eso una sucesión de sumas parciales .
Tomo el primer elemento, luego tomo la suma del primero y el segundo ; luego la suma del primero, segundo y tercero .
S1 , S2, S3 .... es una sucesión que se llama sucesión de sumas parciales No voy a demostrarlo , pero se puede ver que el límite de la primer sucesión de sumas parciales es infinito .Las sumas se van haciendo cada vez mas grandes ; y se dice que la serie diverge, que no hay suma de la serie .En la primera serie (la de 1/n ) , la expresión S(1/n) no puede sustituirse por ningún número .
En el segundo ejemplo, haciendo la misma operación de limite de sumas parciales se llega a 1 , o sea a la solución de la paradoja de Zenón . Esta serie converge a 1 pues el limite de la sucesión de sumas parciales es 1 .
Lo que mostré es que hay dos sucesiones de infinitos elementos ( 1/n y (1/2n ) ;estas dos sucesiones tiene como límite al 0 ;los elementos de ambas sucesiones se "achican acercándose a 0" .
Cuando se arma la serie con los elementos de la sucesión ,al sumar los infinitos términos de la sucesión , en el primer ejemplo el resultado es infinito, o sea que no hay modo de sustituir esta operación mediante un número , mientras que en esta serie segunda, sumar los infinitos términos conduce a un valor finito . O sea que ahí sí hay " sustitución " ; me parece que esto está ligado a la metáfora porque hay sustitución que corta con una infinitud .
La filosofía eleática quería mostrar que todo movimiento es una ilusión entonces la paradoja que se armaba es que sería imposible terminar de recorrer la distancia entre 0 y 1 . Zenón decía vamos a recorrer primero la mitad de la distancia , luego la mitad de la mitad .(o sea la cuarta parte ) , luego la mitad de lo que queda ; de cada pedazo que le queda toma la mitad . Y entonces tenemos la segunda serie :
Por tanto , tengo un camino entre 0 y 1 ; primero tengo que recorrer la mitad (1/2) después la mitad de la mitad (1/4) y luego la mitad de la mitad de la mitad (1/8) . Es como si Zenón dijera : recorrer el intervalo 0 a 1 es armar esta serie y como son infinitos términos no llego nunca . En realidad Zenón no contaba con el concepto de serie, ni con el límite ; en realidad uno no llegaría nunca salvo por la operación de límite que permite mostrar que esta serie justamente tiene suma 1 , o sea es posible recorrer el intervalo [0,1] .
Por ahí lo interesante es ver que lo que da esta posibilidad en este razonamiento es la operación de límite ; sin esa operación de límite quedaría una imposibilidad .
Queda abierta en este punto la posibilidad de pensar la problemática del análisis finito o infinito . Yo diría que todo análisis tendería a ser infinito a menos que medie una operación al modo del paso al límite . Quiero decir que es necesario introducir esa operación para que el análisis devenga finito.
Resumiendo : El límite de la sucesión de sumas parciales es la suma de la serie . Con la sucesión armo la serie y a partir de la serie , la sucesión de sumas parciales ; el tema es si la sucesión de sumas parciales tiene límite o no,
Dimos dos ejemplos de sucesiones definidas por fórmula : 1/ n y (1/2n) .
¿ Qué ocurre con ellas? ambas sucesiones tienen límite 0 ; pero las series formadas con sus términos tienen comportamiento diferente
La serie formada con la sucesión 1/n es divergente, o sea tiende a infinito ; en cambio la serie formada por la sucesión (1/2n) tiende a 1 , es convergente y este hecho es lo que resuelve la paradoja de Zenón .
Dije que me parece que la operación de límite tiene algo del orden de la metáfora
Tomemos un camino de longitud 1 ; decimos que primero recorremos la mitad del camino (1/2) ; a la mitad que falta recorrer ,la dividimos en dos partes ; seguimos con la mitad de la mitad ; así tenemos la serie que armamos con esta sucesión . Dijimos que con la operación de paso al límite ,esa suma de infinitos términos da 1. En este sentido digo que la operación de límite es como si fuera una operación metafórica .¿Por qué ? porque habría dos formas de recorrer un camino . Podría pensarse así : si uno quiere recorrer un camino y lo que hace es dividirlo en mitades , realiza un proceso que se infinitiza : la mitad, la mitad de la mitad ,.... por esa vía no llega (esa es la paradoja de Zenón ),pero solamente el paso al límite es una operación de sustitución , por medio de la cual este 1 sustituye a la serie .
Haciendo el paso al límite se llega . Y me parece que cuando se pone una igualdad , hay sustitución ; el 1 pasa a sustituir a la serie .
En el seminario 11 , página 27 ,en El inconsciente freudiano y el nuestro ,Lacan dice así :"Las dos flechitas que ven en la pizarra después del inconsciente y la repetición apuntan hacia el signo de interrogación que sigue. Indica que nuestra concepción de concepto entraña que éste se establece siempre mediante una aproximación que no carece de relaciones con la forma que impone el cálculo infinitesimal .En efecto, si el concepto se modela según un acercamiento a la realidad que él está hecho para aprehender ,SOLO MEDIANTE UN SALTO, UN PASO AL LIMITE cobra forma acabada realizándose .Por tanto esto requiere que digamos en qué puede cobrar forma acabada . Digamos en forma de canti dad finita, la elaboración conceptual que llamamos inconsciente ;lo mismo vale para la repetición ".
El paso al límite permite un nuevo campo que el proceso de infinitización no permite . El paso al límite hace posible que esa sumatoria tenga tope ,porque el límite es una operación que se hace en relación al infinito .
En este caso el limite de la sucesión de sumas parciales tiene un tope y vale 1.El limite de la sucesión sola es 0 .
Bueno, dejamos por hoy aquí . Algunas cuestiones las he repetido bastante porque entiendo que para algunos es un tema que puede presentar cierta dificultad .
La clase que viene voy a continuar con el número de oro , pero ahora que tenemos las bases para hacerlo , iremos al seminario 14 , La lógica del fantasma y al seminario 16 , De un Otro al otro . Hasta la próxima
