Seminario
De la lógica a la topología en psicoanálisis:
Un recorrido posible
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Organizado por : PsicoMundo

Dictado por :
Mónica Lidia Jacob

Clase 4

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LÓGICA SIMBÓLICA PROPOSICIONAL

Hasta ahora hemos visto la clasificación de los conjuntos de números y en particular estudiamos los números complejos y el número de oro . En la clase anterior , hemos considerado una introducción al tema de sucesiones y series

Hoy vamos a comenzar con lógica simbólica proposicional y en especial las siguientes operaciones entre proposiciones : negación , conjunción , disyunción , implicación material ; luego voy a mostrar que la operación alienación que Lacan introduce en el seminario XIV diciendo que no está en la lógica , sí lo está , y mostraré cómo leo yo , la sustitución que hace Lacan en el pasaje del cógito cartesiano a la alienación

PROPOSICIONES

¿Qué se entiende por proposición en lógica simbólica ?

Una proposición es una oración de la cual se puede decir si es verdadera (V) o falsa (F) .Por ejemplo si digo " el perro es un animal que tiene 4 patas " ese enunciado es una proposición cuyo valor de verdad es V ; si en cambio digo " todos los perros tienen dos patas " este nuevo enunciado es también una proposición , aunque su valor de verdad es F .

Las órdenes o las preguntas no son proposiciones porque no se puede decir de ellas si son V o F ; Si digo : "corré " o " saltá " o si pregunto "¿hace frío? " ó "¿qué es esto?" ,al no ser afirmaciones o negaciones no puedo asignarle un el valor de verdad ( V o F )

Para facilitar el desarrollo , vamos a trabajar con las tablas de verdad de las operaciones principales (principales en lo que concierne a la lectura de la obra de Lacan ) Llamemos p y q a dos proposiciones simples. Una proposición puede estar formulada como afirmación (" esto es una silla " ) o como negación ("esto no es una silla " ) . Si estoy señalando una silla ,la primera será V y la segunda F ; mientras que si señalo una mesa ,la primera será F y la segunda V ; pero por convención se acostumbra a considerar las proposiciones simples en su forma afirmativa .

Si p es una proposición , tiene dos valores posibles V ó F ( en principio se trata de una lógica binaria) y se pueden construir a partir de p y q , proposiciones compuestas .

Negación de una proposición

La primer operación que vamos a considerar es la negación de una proposición .Tiene varias notaciones según la bibliografía que usemos ; yo voy a usar el símbolo ¬ para indicar la negación , con lo cual ¬p es la negación de p y esta nueva proposición ¬p la considero una proposición compuesta pues se obtiene habiendo efectuado una operación sobre la proposición p de partida .

Obviamente , la asignación de valores consiste en que ¬p es F cuando p es V y ¬p es V cuando p es F.

p ¬p

V F

F V

A partir de esta definición , negar dos veces es lógicamente equivalente (en lógica clásica ) a no haber negado ; es decir que ¬¬ p p .

La negación en algunos libros aparece con la notación ¬p y en otros libros aparece con la barra arriba p o con un menos delante : -p .

Jean Michel Vappereau usa tres negaciones con tres símbolos distintos : ¬p para la negación clásica ; ~ p para la primer negación modificada y p para la segunda negación modificada . Ya vamos a retomar esto .

 

A partir de dos proposiciones simples p y q , podemos construir proposiciones compuestas por medio de tres operaciones : conjunción, disyunción e implicación material

Vamos a definir la disyunción que se escribe p q y se lee p ó q Esta v se llama disyunción inclusiva para diferenciarla de la disyunción exclusiva que se indica con la letra w .La conjunción se escribe p q y se lee p y q .

En el seminario 14 , versión del tren fantasma , el símbolo está usado como sinónimo de unión , y la escritura del símbolo la leen como disyunción de conjuntos; eso es incorrecto, pues , hay una correspondencia entre la unión y la disyunción (que veremos en las próximas clases ) pero la disyunción es una operación correspondiente a proposiciones y la unión es la correspondiente operación de conjuntos .No se puede hablar de unión de proposiciones o disyunción de conjuntos

La implicación material se indica así : p q o bien p q .

Hay distintas formas de indicar esos caracteres ,pero lo que va ser estructural ( más allá del símbolo que se use ), es la tabla de verdad que define la operación .

¿Qué es una tabla de verdad? .Es la tabla que indica todas las combinaciones posibles de valores de verdad de las proposiciones simples y de la proposición compuesta .Si tenemos dos proposiciones p y q cada una de las cuales tiene dos valores posibles de verdad : V y F ; ¿cual es la combinatoria de valores posibles para el par p, q ? .Si n es el número de proposiciones que tenemos hay 2n posibilidades combinatorias . En este caso n=2 ,lo cual indica que hay 22 = 4 posibilidades o sea 4 filas para la tabla de verdad . Es decir que el número de casos posibles se obtiene efectuando la potencia : 2 elevado al número de proposiciones simples . Si tuviésemos 3 proposiciones simples :p, q y r ,la tabla de verdad consistiría en 23 ,o sea 8 filas .

Para no olvidarse ninguna de las combinaciones posibles , se procede de la siguiente manera : en la columna correspondiente a la primer proposición ( p ) se ubica alternadamente una V y una F hasta completar la primer columna . .Para la segunda variable (segunda columna ) ubicamos alternadamente dos valores V y dos F; para la tercera proposición cuatro V y cuatro F ( cada columna duplica la cantidad de V consecutivos y de F : 1,2,4, )

Dar una tabla de verdad quiere decir que de las proposiciones simples , se colocan todas las combinaciones posibles de valores de verdad . y en la ultima columna se atribuye el valor de verdad del resultado de la operación .

En el caso de dos proposiciones , el conjunto de todas las combinaciones posibles responde a la misma estructura que el número de combinaciones posibles para una tirada de dos monedas cuyos resultados posibles son C (cara ) y S (ceca) ; tendríamos en ese caso CC (cara, cara) , SC (ceca, cara), CS(cara, ceca ) y SS(ceca, ceca) que corresponden a VV ,FV,VF,FF. C funciona como V y S como F .

La segunda tabla que escribí representa las combinatorias posibles de V y F para el caso de 3 proposiciones simples .

Si tuviéramos 4 proposiciones simples , habría 24 , o sea 16 combinaciones posibles ; si tratan de obtenerlas sin método se van a olvidar de alguna ;por eso es mejor utilizar la técnica de poner un V un F para p , dos V y dos F para q , cuatro V y cuatro F para r y ocho V , y ocho F para s . Este método es simplemente una cuestión práctica .

DISYUNCIÓN DE DOS PROPOSICIONES

Vamos a definir la proposición compuesta p q . Esta es la disyunción inclusiva , que será verdadera si es V p ó q ó ambas .La tabla dice que únicamente es F (falsa ) la disyunción cuando ambas proposiciones son F (o sea cuando no ocurre ni p ni q ). En estas tablas de verdad conviene remarcar la línea diferente .

La disyunción inclusiva sólo es falsa cuando la combinatoria corresponde a las dos proposiciones falsas . Inclusiva quiere decir que admito la posibilidad de considerar que la disyunción es verdadera ( V ) aún en el caso en que ambas ( p y q ) sean verdaderas . En esta disyunción basta que una de las dos sea V o ambas , para que la proposición resultante sea V ;solamente es F si ambas son F .

El enunciado " esta noche salgo con mi marido o voy al cine " es una proposición inclusiva ,porque o salgo con mi marido (a bailar por ejemplo ) o voy al cine (con una amiga ) o voy con mi marido al cine Esa afirmación admite la posibilidad que se den ambas al mismo tiempo .

En cambio la disyunción es exclusiva cuando solamente es V si una y solo una de las dos es V, pero no ambas . Si ambas son V ,la disyunción es F.

El enunciado " estaré 15 días de vacaciones en Mar de Plata o en Carlos Paz " corresponde a una disyunción exclusiva , puesto que no iré de vacaciones a Mar del Plata y a Carlos Paz al mismo tiempo .

CONJUNCIÓN DE DOS PROPOSICIONES

Pasemos ahora a la conjunción de dos proposiciones. La conjunción es una operación que requiere que ambas proposiciones sean V para ser V .

El valor distintivo es el que corresponde a las dos proposiciones verdaderas , cuyo resultado es V . Si digo por ejemplo " la bandera argentina es azul y blanca " podría considerarla como la conjunción entre una proposición p: "la bandera argentina es azul" y otra q : "la bandera argentina es blanca" ; solamente es V si se cumplen p y q son ambas verdaderas , ya que si la bandera es azul pero no blanca, no es la bandera argentina ; de igual modo si es blanca pero no azul o no es azul ni blanca , no es la bandera argentina .

IMPLICACIÓN MATERIAL

 

Ahora vamos a considerar la implicación material (o condicional) que se escribe así : p q. La podemos pensar como un "compromiso " que se adquiere , en el cual si ocurre p , debe necesariamente ocurrir q ; por lo tanto el único caso que contradice ese compromiso es aquel en que p es V y q es falso .

Si no está lloviendo quedo liberada del" compromiso" , y lleve o no lleve paraguas no lo traiciono , por tanto la implicación es verdadera ; solamente es falsa cuando al ser p verdadero , q es falso, porque he roto el compromiso .

Si p es falso ( si el antecedente es falso) , los estoicos definieron la implicación como verdadera .Esta implicación es fundamental porque la estructura de los teoremas está basada en esta implicación . En los teoremas la hipótesis es p y la tesis es q .

La tabla de verdad dice que el único caso en que el resultado es F corresponde a un antecedente (p) verdadero y un consecuente (q) falso Las otras tres líneas son V.

Veremos mas adelante que las operaciones de conjuntos están basadas en estas 3 operaciones , definiremos el complemento de un conjunto a partir de la negación de una proposición ;la unión de conjuntos a partir de la disyunción de proposiciones y la intersección de dos conjuntos ,a partir de la conjunción de dos proposiciones .

Explicité en el título del seminario que este es un recorrido posible ; por eso en esta particular vía que estamos siguiendo las operaciones de conjuntos se construyen a partir de las de proposiciones . No es la única manera , pero entiendo que esta es la más fácil para un inicio .

La implicación material va a dar origen a la inclusión de conjuntos y en su oportunidad , demostraré ( usando la implicación material ) que el conjunto vacío está incluido en cualquier conjunto .

Es por este modo de definir la inclusión a partir de la implicación material, que se va poder demostrar que el vacío es un conjunto incluido en cualquier conjunto.

Hay otras operaciones entre proposiciones pero éstas son las básicas que nos interesan para la lectura de la obra de Lacan

Hemos visto que la negación ¬p, la conjunción p q , la disyunción p q y la implicación p q son operaciones básicas realizadas con proposiciones , así como la suma y la multiplicación , son operaciones básicas con números .

Pasemos ahora a escribir formalizadamente con esta lógica lo que concierne al cógito cartesiano y a la alienación . Para ello construyamos la tabla de verdad de ¬p q ( no p ó q).

Escribamos la tabla de la proposición compuesta ¬p q . Para eso se escriben las columnas tradicionales de p y q , agregando una nueva columna correspondiente a ¬p cuyos valores de verdad son contrarios a los de p . Es decir ,cuando p es V, ¬ p será F y cuando p es F , ¬p será V.

La disyunción y la implicación son operaciones entre dos proposiciones , es decir que hay que tener en cuenta los valores de verdad de dos columnas ; es decir que a partir de p se obtiene ¬p y ahora debemos considerar la disyunción entre ¬p y q , es decir considerar las columnas tercera (¬p) y segunda(q) . Dijimos que la disyunción entre dos proposiciones sólo es F si las dos proposiciones son F ; en este caso ,sólo habrá F si las columnas de ¬p y de q tienen F simultáneamente ; esto ocurre en la tercer fila ; las demás filas darán un resultado V .

Coloquemos en una quinta columna el resultado de la implicación material y comparemos los resultados entre estas dos columnas (cuarta y quinta) . .Vemos que son iguales ; es decir que las proposiciones compuestas ¬p q y p q tienen la misma tabla de verdad , es decir que son proposiciones equivalentes.

Repito : la disyunción es solamente es F si las dos proposiciones que la componen son F ; como aquí estamos realizando la disyunción entre ¬p y q tenemos que operar con las columnas de ¬p y de q y ubicar en qué fila ambas columnas contienen F a la vez . O sea , en qué fila hay FF ;esto ocurre en la tercer fila .

Se tiene entonces que

p q es equivalente a ¬p q

Por lo cual si al cogito cartesiano , pienso entonces soy , lo escribimos como una implicación ; donde p es " pienso" y q es " soy " , a partir de la equivalencia recién demostrada , podríamos enunciar el cógito en su forma lógicamente equivalente : no pienso o soy

p : pienso ¬p : no pienso

q : soy

p q ¬p q

pienso entonces soy no pienso ó soy

Si sé que esta lógica me provee esa equivalencia (por tener la misma tabla de verdad ) , puedo decir que el cógito cartesiano lo puedo traducir en términos de : no pienso ó soy.

Ahora vamos a ver qué dice Lacan en la clase V del seminario 14 de la Lógica del fantasma , clase del 21 de diciembre del 66 . Allí va definir la operación alienación que él llama omega minúscula () ; yo voy a escribirla con una omega mayúscula () para no confundirla con la w de la disyunción exclusiva .

Voy a escribir como tabla de verdad lo que está dicho en el seminario .. Esta tabla no está en el seminario , pero sí ,está dicho como construirla .Ponemos una columna para p , otra para q y otra para la operación resultante que es la alienación , o sea pq

Ubiquemos los valores posibles de p y q como siempre :

Y agreguemos la columna resultante para pq según dice Lacan : " hemos llegado al momento en que voy a formular sobre el inconsciente las fórmulas que considero decisivas . No se trata de ninguna otra cosa que de fórmulas lógicas de las cuales han visto la ultima vez aparecer sobre este pizarrón la inscripción bajo la fórmula que vamos a llegar del o no pienso o no soy [ que es la de la alienación ] ,con la reserva que este pq no es ni el velt de la reunión [ ahí en todo caso sería la disyunción y no la reunión] uno y / ó el otro , o los dos ni otro, al menos uno pero no más , hace falta elegir ; esto no es ni lo uno ni lo otro y será la ocasión de introducir espero , una manera que será recogida en el cálculo lógico , otra función , aquella que se podría llamar por un término nuevo aunque haya uno del cual me haya servido y que podría tener otras aplicaciones , que puede ser ambiguo pero no importa ; no se trata de ninguna otra cosa que esto que les he indicado bajo el término de alienación .Llamamos a esta operación ; en la tabla de verdad corresponde a que las proposiciones sobre las cuales opera : si las dos son V el resultado de la operación es F ; consultarán las tablas de verdad que tienen al alcance de la mano y verán aquellas que son usadas , conjunción , disyunción , implicación no cumplen esta condición .

Efectivamente en la tabla de verdad de las operaciones básicas , (conjunción, disyunción ,e implicación ) a dos proposiciones V le corresponde un valor V en el resultado .

Viene hablando de la operación conjunción , pero ahora en esta traducción al menos se usa conjunción en otro sentido .

Dice : "cuando digo que la conjunción de verdadero, verdadero" ; aquí cuando se refiere a conjunción de V con V quiere decir cuando se considera la combinación VV , es decir el caso en que p es V y q es V , pero no se refiere a la operación conjunción entre p y q . . Sigue " cuando digo la conjunción de V y V da F , quiere decir que toda otra conjunción es V " . Yo pondría toda otra combinatoria es V , "o sea la de FF ,la de FV o la de VF"

Esto está en la primer hoja de la clase del 21 de diciembre del 66 en la versión del " tren fantasma" .

Lacan define a como operación alienación ,podríamos decir " p alienación q ".

Ahora bien, Lacan ¿ qué dice? dice que esta tabla no está en la lógica común Veamos si es así . Tomemos la tabla de la conjunción entre p y q y neguémosla . Es decir , hagamos la tabla de ¬(pq); eso quiere decir : agregar una columna a la tabla de p q , cambiando los valores de V F en la columna de los resultados

O sea . con dos proposiciones p y q obtenemos una proposición compuesta p q ; ahora a ésta proposición sela puede negar obteniendo otra proposición que es ¬ (p q ) .Se puede observar que lo que Lacan llama alienación no es otra cosa que esta operación que entonces ,sí que está en la lógica formal .Pero además veremos lo siguiente .Las leyes de ,de Morgan (Augustus de Morgan ) son dos, pero sólo vamos a verificar una de ellas . De Morgan estipuló la relación que había entre negar el resultado de una conjunción y la negación de las proposiciones simples

Cuando realizo ¬ ( p q) , estoy negando el resultado de la conjunción. En esta escritura tenemos dos operaciones :la negación y la conjunción . Si se pudiera distribuir , al negar p y q primero y hacer la conjunción después se obtendría lo mismo que hacer la conjunción de p y q primero y negar el resultado después . Pero no vale la ley distributiva en este caso , sino que justamente de Morgan dice que al negar las proposiciones individuales la operación que se realiza con las negaciones de p y de q es la dual a la que se realiza entre p y q ; es decir que .la negación de la conjunción corresponde a la disyunción de las negaciones y la negación de las disyunciones corresponde a la conjunción de las negaciones

¬ (p q ) ¬p ¬q

Esta escritura : ¬ (p q ) indica que primero se efectúa la conjunción de p y q y en segundo lugar , se niega el resultado de dicha conjunción.

La escritura : ¬p ¬q indica que primero se efectúa la negación de p y la negación de q ,y en segundo lugar , la disyunción entre ambas negaciones .

Comprobemos esta ley de de Morgan con las tablas de verdad correspondientes :

Si la columna correspondiente a p tiene la secuencia VFVF ,la correspondiente a ¬p seguirá la secuencia FVFV ; análogamente ,si la columna de q es VVFF , la de ¬q será FFVV . De donde surge que para efectuar la disyunción entre las proposiciones ¬ p y ¬q habrá que ver qué ocurre en las columnas tercera y cuarta de esta última tabla , y buscar en que fila ambas columnas tienen una F ,porque dijimos que la disyunción entre dos proposiciones solo es F cuando ambas son F ; eso ocurre en la primera línea .

Es decir que la negación de una conjunción es lógicamente equivalente a la disyunción de las negaciones . De igual, modo se muestra que negar el resultado de la disyunción es equivalente a tomar la conjunción de las negaciones :

¬ ( p q) ¬p ¬q

Tenemos entonces una importante conclusión : por un lado hemos visto las leyes de de Morgan , en particular lo que nos interesa es la equivalencia entre ¬ ( p q) y ¬p ¬q ; y además hemos visto que ambas son equivalentes a la tabla que Lacan designa como operación Omega u alienación . Entonces procedamos a escribir esto en términos del pienso (p) y del soy (q) .

Llegamos a entender por qué él dice que la alienación es no pienso o no soy ¿por qué? Porque :

Es decir que la alienación está compuesta de dos operaciones : la negación y la disyunción . La negación opera sobre las proposiciones simples y la disyunción sobre esas negaciones. Por eso no es cierto que esta operación no esté en la lógica .

La lectura que yo hago del pasaje del cógito cartesiano a la alienación es ésta : escribo barra que indica una sustitución :

Claramente la sustitución corresponde a ubicar un no en el soy ; por eso Lacan dice que en la alienación se niega el ser del je . La estructura de ambos enunciados difiere en el no que opera sobre el soy .

 

Hasta aquí , hemos visto las cuestiones básicas que atañen al cálculo de proposiciones de la lógica clásica .

Ahora bien , Freud en muchas oportunidades habla de una lógica que rige los procesos inconscientes . Por ejemplo en la Interpretación de los sueños , en el "sueño de la bella carnicera" nos habla de un "proceso inconsciente de razonamiento" .

Entonces , podemos preguntarnos : ¿ es que hay una lógica formulable para dar cuenta el descubrimiento freudiano? . La lógica clásica no alcanza a dar cuenta de los procesos inconscientes , ya que por ejemplo no concibe la afirmación y negación simultánea de dos proposiciones .¿Será posible formular una tal lógica?

Jean Michel Vappereau , en Clave del pase , construye lo que él llama una lógica modificada , que es un pequeño sistema lógico, muy simple , en el cual agrega a la negación clásica ,otras dos negaciones . Es en ese sistema , que es posible dar cuenta de la estructura del lenguaje y por tanto de los procesos inconscientes.

Por el momento quiero dejar planteadas las dos negaciones que introduce Jean- Michel Vappereau , y queda para la clase que vienen poder discutir que se puede hacer con ellas

Vamos a considerar tres negaciones :

¬p en la lógica clásica

~ p primera negación modificada

p en la lógica modificada .

Tomemos una proposición p e introducimos una proposición A mayúscula, que llamaremos parámetro . Por lo que estuvimos viendo , al tener dos proposiciones , la tabla de verdad será de 4 líneas si utilizamos las 4 combinaciones posibles de V y F .

La negación clásica , ya lo anticipamos , es aquella en la cual ¬ p es F cuando p es V y ¬ p es V cuando p es F .

El haber introducido A , hace que los valores posibles para p que son V ó F se hayan desdoblado en 4 .

Definimos la primera negación modificada ~ p según :

~ p = (A L ¬p)

Es decir que negar una proposición , es realizar la conjunción entre A y la negación clásica de la proposición .

La segunda negación modificada se define según:

p = ( ¬A L ¬ p)

Negar una proposición cualquiera p , es realizar la conjunción entre la negación clásica de A y la negación clásica de la proposición que estamos negando .

En la clase que viene vamos a armar las tablas de verdad de estas negaciones y extraeremos las conclusiones pertinentes .

Hasta la próxima .