Seminario
De la lógica a la topología en psicoanálisis:
Un recorrido posible
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Organizado por : PsicoMundo

Dictado por :
Mónica Lidia Jacob

Clase 5

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CÁLCULO DE PROPOSICIONES Y TEORÍA DE CONJUNTOS

En la última clase les presenté las negaciones que propone utilizar en el discurso del psicoanálisis ,Jean Michel Vappereau y a las que denomina primera negación modificada y segunda negación modificada . El trabaja estas cuestiones en un texto escrito que se ,llama Clave del pase ( inédito) En el mismo desarrolla un sistema formal que no abordaremos en su totalidad en este seminario. A los fines de nuestro programa , vamos a ver lo que concierne al tratamiento de las negaciones ; es como para aproximarnos al planteo de Jean Michel ..

Les recuerdo cómo habíamos definido estas negaciones

Indicamos por ¬p a la negación clásica , aquella cuya tabla de verdad contiene dos líneas , en las cuales, cuando p es verdadero , ¬p es falso y si p es F , ¬p es V

Con ~ p indicamos la primer negación modificada y p es la escritura de la segunda negación modificada

Tomemos una proposición p e introducimos una proposición A mayúscula, que utilizamos como parámetro . Por lo que vimos la clase anterior , al tener dos proposiciones , la tabla de verdad será de 4 líneas ,aquellas que contienen todas las combinaciones posibles de V y F .

Definimos la primera negación modificada ~ p según :

def

~ p (A ¬p)

Es decir que negar una proposición , es realizar la conjunción entre A y la negación clásica de la proposición .

La segunda negación modificada se define según:

p = ( ¬A ¬ p)

Negar una proposición cualquiera p , es realizar la conjunción entre la negación clásica de A y la negación clásica de la proposición que estamos negando .

Veamos las tablas de verdad correspondientes a estas dos negaciones y las relaciones que podemos realizar con ambas

Podemos ver hasta el momento que ,de acuerdo a estas definiciones , la negación clásica difiere de la primera negación en la cuarta línea y la diferencia entre la negación clásica y la segunda negación aparece en la cuarta línea .

Ahora bien, si tenemos dos proposiciones p y A y estamos considerando la conjunción que es un conector binario ( conecta dos proposiciones) nos podríamos preguntar ¿ por qué llamar a eso negación de p, es decir utilizar un conector que es unario sobre p y prescindir de A en la forma manifiesta?

Quiero decir, que al llamar ~ p a la proposición compuesta A ¬p , prescindo de escribir A ¿por qué? En la definición misma de ambas negaciones está este parámetro A , del cual podemos prescindir si escribimos simplemente ~ p ,o p . Es decir que A tiene una función pero no es necesario escribirlo ; en ese punto podríamos decir que este A está barrado..

 

Mi lectura es la siguiente : estamos tratando de dar cuenta del funcionamiento de la lógica del inconsciente ; sabemos que la enunciación está ligada a lo no sabido que viene del Otro, por lo tanto no sabemos que nuestros enunciados están ligadas a enunciados del Otro . En ese punto, creo que es posible escribir estos conectores como unarios , en tanto sólo en análisis se revelarían como binarios .

Veamos ahora que ocurre su negamos dos veces ; en ambas negaciones modificadas veremos que la negación de la negación de p no p como ocurre con la negación clásica. Clásicamente ¬¬p , es equivalente a p , pero la doble negación de las negaciones modificadas no equivale a p ; y al efectuar la primera negación sobre la segunda negación , eso equivale a A , que por este rodeo vamos a llamar A barrado

La primer doble negación ~ ~ p equivale a realizar la conjunción entre A y la negación clásica de ~ p . y podemos ver que no es igual a p .

La segunda doble negación

Vemos entonces que al efectuar dos veces estas negaciones , no volvemos a la proposición de partida

¿Qué sería efectuar la segunda negación de la tercera negación ; o sea algo así como una doble negación? . Por definición de ~ , hay que realizar la conjunción entre A y la negación clásica de p ..

Vemos que la última columna coincide con A ; es decir que se podría definir A , que en realidad es A barrada ,por medio de esta expresión:

Y ahora podemos comprobar quizá la más interesante de las relaciones.

¿Cómo podemos leer esta segunda negación y esa forma equivalente de escribirla ?. Vappereau propone que esa es la fórmula de la denegación en Freud , el no hay relación sexual en Lacan , no hay la mujer , no hay metalenguaje .

Podríamos decir que es el " no hay"

A la negación ¬ vamos a leerla como " es falso que" y a la negación ~ la vamos a leer como " no" .Podemos decir , suponiendo que p es : " hay metalenguaje "

p : no hay metalenguaje

¬p : es falso que hay metalenguaje

¬ ~ p : es falso que no hay metalenguaje

Con lo cual el no hay metalenguaje de Lacan podríamos expresarlo como : es falso que no hay metalenguaje y es falso que hay metalenguaje .

¿Por qué? o propio del lenguaje humano , a diferencia de la comunicación es que hay necesariamente comentario ; si alguien habla, es posible interrumpir y preguntar qué ha dicho y el hablante comentará lo que ha dicho . Esto no podrá ser así en un lenguaje animal como por el ejemplo el de las abejas Si interrumpimos una abeja en su movimiento , ésta no va poder " realizar un comentario de lo que ha hecho; se perderá esa información .

Entonces hay necesariamente metalenguaje ( comentario ) pero no hay metalenguaje porque no es una salida del lenguaje .

Podemos observar lo siguiente : si sólo utilizáramos la negación clásica , la expresión ¬p ¬¬p . sería una contradicción (en todas las líneas sería F ) pues sería equivalente a ¬ p p

En cambio , hemos visto que utilizando las tres negaciones , esa expresión

¬ p ¬ ~ p , no resulta ser una contradicción

También es interesante la lectura que hace Vappereau , del ejemplo que da Freud en La negación del paciente que le dice :" Soñé con una mujer , no es mi madre" . Vappereau sostiene que la formulación correcta sería entender el no es mi madre como p : , con lo cual habría que decir : es falso que es mi madre y es falso que no es mi madre

Este sería el estatuto de su madre en el inconsciente . Ahora bien, como el analizante está en la lógica clásica , no puede formularlo así, por lo cual corta la frase en dos mitades y utiliza a Freud para una mitad y entonces dice : Usted va decir que es mi madre , yo digo que no es mi madre .

Me parece muy interesante pensarlo así .Insisto que de este modo no hay contradicción .

Para pasar a teoría de conjuntos, vamos a repasar las reglas fundamentales del cálculo de proposiciones . Habíamos visto que si una proposición toma valores V y F, su negación toma los valores opuestos F y V .

Dadas dos proposiciones , tenemos 4 combinaciones posibles de pares : VV,VF,FV Y FF ; la conjunción es aquella operación que solamente es V en el caso en que las dos proposiciones sean V y en todo otro caso , es F . Para las mismas 4 combinaciones posibles ,la disyunción es aquella operación que solamente es F cuando las dos son F y sus otras combinaciones toman el valor V . Y la implicación material sólo es F en la línea en que el antecedente p es V y el consecuente q es F .Voy a ubicar todas las tablas juntas, ya que estamos repasando :

La implicación material es muy importante y solamente es F si encontramos V F en ese orden ,es decir cuando a un V en el antecedente le corresponde un F en el consecuente . Estas son las cuatro operaciones básicas a partir de las cuales se pueden construir muchas proposiciones compuestas y se pueden demostrar todas las propiedades requeridas para la lectura de los seminarios y escritos de Lacan.

TEORÍA DE CONJUNTOS

Ahora vamos a pasar a las operaciones de conjuntos que se definen a partir de estas operaciones entre proposiciones . Tal vez podamos decir que la teoría de conjuntos es una traducción del cálculo de proposiciones.

La negación de una proposición se traduce en el complemento de un conjunto, la disyunción de proposiciones tiene su correlato en la unión de conjuntos , y hay una articulación de la conjunción de proposiciones con la intersección de conjuntos , y de la implicación de proposiciones con la inclusión de conjuntos . Pero muchas veces se desliza esa correspondencia confundiendo las cosas y se habla de unión de proposiciones , eso es incorrecto. Negación , conjunción disyunción e implicación, son operaciones proposicionales ; complemento, unión , intersección e inclusión son operaciones entre conjuntos .

La representación de un conjunto se efectúa por medio de un círculo de Euler , empleando una letra mayúscula .Los elementos de un conjunto se ubican marcando un punto dentro del circulo e indicándolos con letras minúsculas .

El símbolo se lee pertenece ; la notación x A que se lee : x pertenece al co njunto A , quiere decir que x es un elemento del conjunto A Llamo la atención sobre el hecho que esta es una lectura básica de la teoría de conjuntos; corresponde a la llamada por Halmos , teoría ingenua o intuitiva de conjuntos ; hay otra teoría que es la teoría axiomática de conjuntos , mucho más compleja . Considero que es importante partir de lo más sencillo antes de ir a una teoría más complicada

Intuitivamente pensemos que este redondel que efectúa un recorte en el plano , sitúa cuales son los elementos de ese conjunto y pensémoslo por ahora como una "bolsa" . A una " bolsa " vacía , sin elementos , la llamaremos conjunto vacío .

Sea A un conjunto que tiene elementos :¿ quienes pueden ser elementos de un conjunto? Pueden ser : números ,letras , palabras, funciones , matrices etc.; luego veremos que se pueden obtener conjuntos cuyos elementos son conjuntos . (lo veremos al abordar el conjunto de partes de un conjunto, tema citado por Lacan en El saber del psicoanalista ).

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

La operación conjuntista correlativa a la negación proposicional , es el complemento de un conjunto que se escribe con una raya arriba del nombre del conjunto ; si A es el conjunto ; A es el complemento de A .

¿Cómo se define el complemento de A?: se dice que es el conjunto de aquellos elementos x , que no pertenecen a A :

A = { x / xA } = { x/ ¬ ( x A ) }

Consideramos un conjunto A ; lo que queda "fuera" de A es el complemento ; pero , ese afuera ¿hasta dónde se extiende? Los matemáticos lo llaman UNIVERSO , que en verdad es un referente , es un conjunto de referencia . No se refiere a una totalidad , o en todo caso se refiere a una totalidad en la cual estamos interesados en referirnos ; pero todo universo tendría un más allá de ese universo . Por ejemplo si el conjunto A es el conjunto formado por los estudiantes de Psicología de la UBA ,podríamos tomar como universo al conjunto de estudiantes de la Universidad de Bs. As; pero eso no agota las posibilidades porque habría otro universo posible que sería el conjunto de los estudiantes de todas las universidades de la Argentina ; pero también podríamos considerar el conjunto universal compuesto por todos los estudiantes de las universidades del planeta y así siguiendo .Es decir, considero un conjunto A ; su complemento es el conjunto de todos los elementos que estando en el universo definido (el referente considerado) , no están en el conjunto A ; se ve claramente que la operación complemento depende tanto del conjunto A como del universo que hayamos elegido . O sea que el complemento de A no es el conjunto formado por todo lo que no está en A ,como ser tomates, perros , etc. ; no; es todo lo que no es estudiante de Psicología de la Universidad de Bs. As.. sino que son todos los estudiantes que perteneciendo a la universidad de Bs. As (el universo) , no pertenecen a la Facultad de Psicología de la UBA .En ese sentido , este universo no es una totalidad absoluta ; es una totalidad parcial . La forma de representar el complemento es ésta

La zona rayada es la representación del complemento de A

El rectángulo representa el universal ; el círculo al conjunto A ; y el exterior del círculo hasta el borde del rectángulo ,representa el complemento de A

No sé si ven por qué esta operación es correlativa a la negación. Si decimos xA , estamos predicando acerca de la pertenencia de x al conjunto A ; entonces es una proposición , porque se puede decidir si es V o F ; quiere decir que la proposición p es xA ; la negación de p ( de ahora en más vamos a utilizar la negación clásica) es xA. Por convención se considera a las afirmativas como p , y a sus negaciones como ¬p (pero podría ser al revés ) . A está formado por aquellos elementos x para los cuales la proposición p ( xA ) es verdadera ; por lo tanto, el complemento de A estará integrado por los x del universo considerado , para las cuales la proposición ¬ p ( xA ) , es V.

Es decir que x es un elemento del complemento , si y sólo si , x no es un elemento de A (o sea que no está en A) , y ahí está en juego la negación. .Porque decir que x no pertenece a A , es lo mismo que decir que no es cierto que x pertenezca a A

Acá se ve claro que complemento es de un conjunto y negación es de una proposición .

Veamos un ejemplo .Consideremos U el conjunto de los números naturales entre 1 y 5 . Y A el conjunto formado por 1,2, y 3

U = { 1,2,3,4,5}

A = { 1,2,3}

El complemento está formado por los números de U ( es decir entre 1 y 5) que no pertenecen a A , es decir que no son ni 1 ni 2 ni 3 ; vale decir que A complemento está formado por 4 y 5

A = { 4,5 }

Utilizando la definición , la traducción del cálculo de proposiciones ,podemos decir que en el complemento de A ubicamos aquellos x U ( aquellos elementos de nuestro referente) para los cuales es falsa la proposición x A .

UNIÓN DE DOS CONJUNTOS

Ahora vamos a tomar dos conjuntos que llamamos A y B ; ¿cómo vamos a definir la unión? .Como el conjunto de los x que tienen la propiedad de estar en A ( la proposición p es xA ) ó estar en B ( la proposición q es xB )

Es decir que integran el conjunto AB ,aquellos elementos x para los cuales es verdadera la proposición p q donde p es la proposición que afirma la pertenencia del elemento x al conjunto A y q es la proposición que afirma la pertenencia del elemento x al conjunto B .

Es decir que la unión de dos conjuntos es un nuevo conjunto , cuyos elementos se siguen indicando con x ,porque x es una variable y representa uno cualquiera de los elementos ; ese elemento x satisface una disyunción entre dos proposiciones que predican sobre la pertenencia o no , de x a cada uno de los conjuntos .

Decimos que un elemento x está en la unión si cumple que :o está en A ó está en B o está en ambos ; recuerden que es la disyunción inclusiva Eso se escribe así :

Esta es una proposición que predica la pertenencia de x a la unión; la proposición no es la unión de A con B sino que es la proposición

x AB , que predica que x está en el conjunto unión .

Veamos la representación .La unión se indica habitualmente rayando la zona correspondiente a ambos círculos .

Insisto en el hecho siguiente : la unión no es la disyunción ; hay una correspondencia , pero la unión es una operación entre conjuntos y la disyunción entre proposiciones y es incorrecto decir la disyunción de dos conjuntos o la unión de dos proposiciones .

x es una variable , quiere decir que a ese lugar pueden ir todos los elementos que estén en A ó en B .Eso lo veremos con un ejemplo numérico que ayuda a conceptualizar esto .Pero primer definamos la intersección AB .

INTERSECCIÓN DE DOS CONJUNTOS

La intersección entre conjuntos es correlativa de la conjunción de proposiciones . La intersección entre dos conjuntos A y B es , por definición , el conjunto de los x que están en A y que están en B simultáneamente ; o sea de los elementos que están en los dos conjuntos a la vez (los elementos comunes).

Decimos entonces que x es un elemento de la intersección si y sólo si x está en A y x está en B .

La intersección se define a partir de la conjunción . La representación es la parte donde A y B se superponen .( Lacan la llama la lúnula central)

Veamos un ejemplo numérico ( es el más sencillo ) . Consideremos arbitrariamente tres conjuntos que llamamos U (universo), A y B . U está formado por los números naturales de 1 al 6 .

U ={1,2,3,4,5,6}

A={1,2,3,4 }

B={2,3,5}

Para ubicar esos números en el diagrama de Venn hay que comenzar de "adentro " hacia afuera ; es decir : primero ubicar la intersección (los elementos comunes) , luego los números que están sólo en A (fuera de la intersección ) o sólo en B y luego los que no están ni en A ni en B. Para averiguar quienes son los elementos de la intersección , de una manera informal, nos preguntamos qué números se repiten , qué números están en A y en B a la vez ; en este caso , 2 y 3 .

¿Cómo se podría realizar esto formalmente?

Supongamos que queremos saber si el número 1 está en la intersección ; para que 1 pertenezca a la intersección [ 1(AB) ] , deberíamos comprobar que 1 pertenece al conjunto A [ 1A ] y simultáneamente 1 pertenece al conjunto B [1B ]

En este ejemplo ,1 está en A , luego p es V , pero 1 no está en B , luego q es F ; en la conjunción , VF es F ; luego 1 no está en la intersección .

Una forma de considerar todos los casos posibles formalmente sería construir una tabla de verdad de la siguiente manera : una columna corresponde a x , otra a xA ( que llamamos p), otra a xB (q); otra a la conjunción (p q) .La x se va sustituyendo por cada uno de los valores de U

Por lo tanto la intersección de A con B es el conjunto formado por el 2 y el 3 para los cuales es verdadera la conjunción ( son los elementos comunes a A y B ,los que se "repiten" )

A B= {2,3}

Ubicamos en la lúnula central los elementos 2 y 3 .Por otro lado, A contiene al 1,2,3,4 ; habiendo colocado 2,3 en la intersección ,queda por ubicar al 1 y 4 en la región de A no correspondiente a la intersección. Por su parte B contiene al 2,3,5 ; esto quiere decir solamente el 5 forma parte de la región de B que no pertenece a la intersección .

El 6 está fuera de ambos .

Tenemos entonces que la unión de A con B queda formada por los números del 1 al 5 .

A B= {1,2,3,4,5 }

Esto queda representado así :

El complemento de A es el conjunto formado por el 5 y 6 ; si quieren verlo gráficamente tomen el borde de A y busquen todo lo que está "fuera" de A , fuera de ese borde .

El complemento de B es lo que está fuera del borde de B , que en este caso está formado por 1,4,6.

A = {5,6} B = { 1,4,6 }

INCLUSIÓN DE UN CONJUNTO EN OTRO

Ahora vamos a ver cómo se define la inclusión entre dos conjuntos . Queremos saber cuando un conjunto A está incluido en otro B . Intuitivamente decimos que A está incluido en B si todos los elementos de A , son elementos de B ( pero no todo elemento de B es un elemento de A) .

Por ejemplo si A ={ 1,2 } y B={1,2,5} podemos decir que A está incluido en B (A B) .

La definición formal es la siguiente : decimos que A está incluido en B si para todo valor de x , es verdadera la siguiente implicación : si x está en A , entonces x está en B :

Tomemos los elementos de A :

Y ahora veamos por qué el conjunto vacío está incluido en cualquier conjunto . Para ver si es cierta esta afirmación A ( con A un conjunto cualquiera ) hay que ver si es verdadera la siguiente implicación :

Sucede que la proposición que está en el antecedente (x) es F por definición de conjunto vacío que es aquel que no tiene elementos, o sea que ningún x pertenece al conjunto vacío; es decir que x es falso para cualquier x. Pero una implicación cuyo antecedente es F , tiene un valor de verdad V , independientemente del valor que tome el consecuente . El conjunto A no se sabe, por lo tanto no se sabe si es V o F que xA.; pero no importa , ya que con antecedente F la implicación es V . Así me independicé de A , me independizo de saber quien es el conjunto y cuales son los elementos x. . Es decir que la estructura de la implicación material permite afirmar que x xA es siempre V , con lo cual se demuestra que vale la inclusión A. Es una afirmación muy fuerte : el conjunto vacío está incluido en cualquier conjunto .

La próxima clase vamos a definir el conjunto de partes de un conjunto y a trabajar con las partes del conjunto vacío .Con eso abordaremos las referencias de Lacan en El saber del psicoanalista y Ou Pire .

Hasta la próxima .